有限元-计算结构力学-大作业.docx

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3
有限元-计算结构力学-大作
业
-标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
2
3
平面应力问题解的Matlab实现
亡
姓名:heiyal68
学号:帆哥
班级:
指导老师:
目录
绪论4
平面问题的四节点四边形单元4
4
3
单元的构造4
等参变换8
边界条件的处理——置“1”法10
有限元分析流程11
程序原理和流程11
使用的函数12
文件管理12
数据文件格式13
算例——开方孔的矩形板拉伸分析14

Matlab程序计算14
ANSYS建模计算16
误差分析18
5总结18
参考文献19
附录20
绪论
有限元方法(finiteelementmethod),是求取复杂微分方程近似解的一种
非常有效的工具,是现代数字化科技的一种重要基础性原理。将它用于在科学研究中,可成为探究物质客观规律的先进手段。将它应用于工程技术中,可成为工程设计和分析的可靠工具。
弹性体在载荷作用下,其基本方程可写成以下的三类方程和两种边界条件。平衡方程——应力与外载荷的关系;几何方程——应变位移关系;物理方程——应力应变关系;力的边界条件;几何边界条件。应用最小位能原理,并利用上述关系,最终建立由刚度方程,节点位移和等效节点载荷所构成的求解方程。带入边界条件求解方程,就可以得出弹性力学问题的一般性解答。
本次大作业基于有限元方法的基本原理,使用Matlab这一平台,针对平面应力问题,采用四节点四边形单元编写了求解单元节点位移的程序。主要内容包括:1)介绍有限元的基本原理;2)编程基本思路及流程介绍;3)程序原理及说明;
4
3
4)具体算例这四个部分。
平面问题的四节点四边形单元
单元的构造
(1)单元的几何和节点描述平面4节点矩形单元如图4-6所示,单元的节点位移共有8个自由度。节
点的编号为1、2、3、4,各自的位置坐标为(xi,yi),i=l,2,3,4,各个节点的位移(分别沿x方向和y方向)为(ui,vi),i=1,2,3,4。
v
4
8
5

若采用无量纲坐标
xa
y
n=—
b
g=1
1
g=-1
2
g=-1
3
g=1
n=1
1
n=1
2
n=-1
3
n=-1
则单元4个节点的几何位置为
4
4
记作q
e
)
)
将所有节点上的位移组成一个列阵,
;同样,
将所有节点上的各个
力也组成一个列阵,记作Pe,那么
qe=[uv
11
(8x1)
Pe=[PP(8x1)x1y1
vu
23
PPP
x2y2x3
P
y3
]T
PP]T
x4y4
)
若该单元承受分布外载,可以将其等效到节点上,也可以表示为如式()所示的节点力。利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式,可以将单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数qe来表示;下面进行具体的推导。
(2)单元位移场的表达
从图2-1可以看出,节点条件共有8个,即x方向4个(u,u,u,u),y方1234
向4个(v,v,v,v),因此,x和y方向的位移场可以各有4个待定系数,即取1234
以下多项式作为单元的位移场模式
v
4
8
7
u(x,y)二a+ax+ay+axy、
oi^3()
v(x,y)二b+bx+b\y+bxy
01-23
它们是具有完全一次项的非完全二次项,以上两式中右端的第四项是考虑到x方向和y方向的对称性而取的,除此外xy项还有个重要特点,就是“双线性”,当x或y不变时,沿y或x方向位移函数呈线性变化,这与前面的线性项最为相容,而x2或y2项是二次曲线变化的。因此,未选x2或y2项。
由节点条件,在x=xi,y=yi处,有
u(x,y)二u/、
iiii=1,2,3,4()
v(x,y)二v
iii
将式()代入式()中,可以求解出待定系数a0,…,a3和b0,…,b3,然后代回式(4-52)中,经整理后有
)
u(x,y)二N(x,y)u+N(x,y)u+N(x,y)u+N(x,y
.4
1122334L
v(x,y)二N(x,y)v+N(x,y)v+N(x,y)v+N(x,y)v
11223344
其中
N(x,y)=(1+一—)(1+壬)
4珂b
1xyN(x,y)=7(1—)(1+斗)
4ab
N(x,y)=;(1—I)(1-y)
4ab
N(x,y)={(1』)(1-斗)ab
)
4
如以无量纲坐标系()来表达,式()可以写成
N=)(1+nn)i=1,2,3,4
4
)
v
4
8
7
将式()写成矩阵形式,
u
1
v
1
u
u(x,y)
_v(x,y)_
N
1
u(x,y)=
(2x1)
2
Nqe
(2x8)(8x1)
v
2
u
3
v
3
u
4
)
v
4
8
9
其中,N(x,y)为该单元的形状函数矩阵。
v
4
8
9
单元应变场的表达
由弹性力学平面问题的几何方程(矩阵形式),有单元应变的表达
*(x,y)—
(3x1)
其中几何矩阵B(x,y)为
xx
*
yy
Y
xy
u=[q]N-qe=B-qe
(3x2)(2x1)(3x2)(2x8)(8x1)(3x8)(8x1)
)
B(x,y)二b]N
(3x8)(3x2)(2x8)
q
Qx
Q
Qy
Q
Qx
123(3x2)(3x2)(3x2)
B
4
(3x2)
N
4
N
3
)
v
4
10
7
v
4
8
7
式(4-59)中的子矩阵b为
i
QN
Qx
B
i
(3x2)
QN
Qy
i二1,2,3,4
)
QN
QN
Qx
v
4
8
7
v
4
8
7
单元应力场的表达由弹性力学中平面问题的物理方程,可得到单元的应力表达式
)
◎=D£=DBqe=Sqe
(3x1)(3x3)(3x1)(3x3)(3x8)(8x1)(3x8)(8x1)
单元应力场的表达以上已将单元的三大基本变量(U,6Q)用基于节点位移列阵来进行表达,
见式()、式()及式();将其代入单元的势能表达式中,有
=2qeTKeqe—PeTqe
)
v
4
8
7
v
4
8
7
其中Ke是4节点矩形单元的刚度矩阵。
v
4
8
7
)
10
)
#
)
17
将单元的势能对节点位移qe取一阶极值,可得到单元的刚度方程
)
Ke-qe=Pe
(8x8)(8x1)(8x1)
等参变换
由前面的单元构造过程可以看出,一个单元的关键就是计算它的刚度矩阵,而由刚度矩阵的构成可知要实现两个坐标系中单元刚度矩阵的变换,必须计算两个坐标系之间的三种映射关系:
坐标映射
)
偏导数映射
)
面积映射
JdxdynJdgdq
)
3(-1,-I)
(ii)卑准坐枇系&"川的取尤

1)两个坐标系之间的函数映射
设如图4-17所示的两个坐标系的坐标映射关系为
x=x(g,耳)y=y(g,q)
x和y方向上可以分别写出各包含有4个待定系数的多项式,即
)
18
)
#
)
9
x(g,n)=a+ag+ap+agq0i2卜3()
y(g,q)二b+bg+bM+bgq
0123
其中待定系数a0,…,a3和b0,…,b3可由节点映射条件()来唯一确定。
对照前面4节点矩形单元的单元位移函数式(),映射函数式()具有完全相同的形式,同样,将求出的待定系数再代回式()中,重写该式为
x(g,q)二N(g,q)x+N(g,q)x+N(g,q)x+N(g,q);
1122334
y(g,q)=N(g,q)y+N(g,q)y+N(g,q)y+N(g,q)
)
12
23
34
其中
N=4(i+gg)(i+qq)
i=1,2,3,4
)
—x(g,q)—
_y(g,q)_
N
1
x(g,q)=
(2x1)
()
这就可以实现两个坐标系间的映射。
x
1
y
1
x
2
y
2
x
3
y
3
x
4
y
4
=N(g,q)
(2x8)
q
(8x1)
2)两个坐标系之间的偏导数映射
对物理坐标系(x,y)中的任意一个函数①丄歹),求它的偏导数,有
。①Qx。①Qy
+
QxQgQyQg
Q①QxfQ①Qy
QxQqQyQq
)
则偏导数的变换关系为
QQQxQQy
=+
QgQxQgQyQg
QQQxQQy
=+
QqQxQqQyQq
)
写成矩阵形式,有
Q
Q
Qg
—J
Qx
Q
—J
Q
Qq
_Qy_
)
10
)
#
)
9