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2015年高考数学考纲解读及热点难点试题演练【专题10】圆锥曲线含解析.doc


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2015年高考数学考纲解读及热点难点试题演练【专题10】圆锥曲线含解析.doc
文档介绍:
(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质,B级要求;
(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质,A级要求;
(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质,A级要求;曲线与方程,A级要求.
(4)有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题.
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|).
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上);
(2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上).
3.圆锥曲线的几何性质
(1)椭圆:e==;
(2)双曲线:①e==.
②渐近线方程:y=±x或y=±x.
4.求圆锥曲线标准方程常用的方法
(1)定义法
(2)待定系数法
①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义;
②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为+=1(m>0,n>0);
双曲线方程可设为-=1(mn>0).
这样可以避免讨论和繁琐的计算.
5.求轨迹方程的常用方法
(1)直接法:将几何关系直接转化成代数方程;
(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程;
(3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系;
注意:①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.
6.有关弦长问题
有关弦长问题,应注意运用弦长公式;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运用,以简化运算.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= |x2-x1|或|P1P2|=|y2-y1|.
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”来简化运算.
7.圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,B为短轴的一个端点,O为坐标原点,则有
①|OP|∈[b,a];
②|PF1|∈[a-c,a+c];
③|PF1|·|PF2|∈[b2,a2];
④∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)双曲线中的最值
F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的任一点,O为坐标原点,则有
①|OP|≥a;
②|PF1|≥c-a.
8.定点、定值问题
定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.
9.解决最值、范围问题的方法
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系,根据目标函数或不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.
考点1、圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是________________.
【解析】法一+=1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),根据定义2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-22=5,故所求双曲线方程为-=1.
法二+=1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=9,-=1,解得a2=4,b2=5,故所求双曲线方程为-=1.
【方法技巧】本例可有三种解法:一是根据双曲线的定义直接求解,二是待定系数法;三是共焦点曲线系方程,其要点是根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲线系,再根据另外的条件求出参数.
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为____________.
考点2、圆锥曲线的几何性质
【例2】(2013·浙江卷改编)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是________.
【规律方法】求解圆锥曲线的离心率,基本思路有两种:一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a,c,然后根据离心率的定义式求解;二是根据已知条件构造关于a,c的方程,多为二次齐次式,然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解,要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数.[来源:.]
【变式探究】(1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=________.
(2)椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则椭圆的离心率为________.
考点3、求动点的轨迹方程
【例3】在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足A·B=-2,求点M的轨迹方程.
【规律方法】(1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解.
(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.
【变式探究】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.
综上,|AB|=2或.
难点一、圆锥曲线的弦长问题
【例1】如图,F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率;
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