简并微扰理论PPT资料.pptx

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假设En(0)是简并的,那末(nàmò)属于H(0)的本征值En(0)有k个归一化本征函数:|n1>,|n2>,......,|nk>
<n|n>=
满足(mǎnzú)本征方程:
于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似。所以在简并情况下,首先要解决的问题是如何(rúhé)选取0级近似波函数的问题,然后才是求能量和波函数的各级修正。
0级近似波函数肯定应从这k个|n>中挑选,而它应满足上节按幂次分类得到的方程:
共轭方程
(一)简并微扰理论
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|ψn(0)>已是正交归一化
系数(xìshù)c
由一
次幂方
程定出
左乘<n|得:
得:
上式是以展开(zhǎnkāi)系数c为未知数的齐次线性方程组,它有不含为零解的条件是系数行列式为零,即
根据(gēnjù)这个条件,我们选取0级近似波函数|ψn(0)>的最好方法是将其
表示成k个|nk>的线性组合,
因为反正0级近似波函数要在|nk>(=1,2,...,k)中挑选。
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解此久期方程
可得能量的一级修正En(1)的k个根:En(1),=1,2,...,=En(0)+E(1)n所以,
若这k个根都不相等,那末一级微扰就可以将k度简并完全消除;若En(1)有几个(jǐɡè)重根,则表明简并只是部分消除,
必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。
为了确定能量En所对应的0级近似波函数,可以把E(1)n之值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,...,k.)系数(xìshù),将该组系数(xìshù)代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。
为了能表示出c是对应与第个能量一级修正En(1)的一组系数(xìshù),我们在其上加上角标而改写成c。这样一来,线性方程组就改写成:
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(xiàoyìng)
(1)Stark效应(xiàoyìng)
氢原子在外电场作用下产生(chǎnshēng)谱线分裂现象称为Stark效应。
我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用,造成第n个能级有n2度简并。但是当加入外电场后,由于势场对称性受到破坏,能级发生分裂,简并部分被消除。Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。
(2)外电场下氢原子Hamilton量
取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多,例如,强电场≈107伏/米,而原子内部电场≈1011伏/米,二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。
(二)实例
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(3)H0的本征值和本征函数
下面我们只讨论(tǎolùn)n=2的情况,这时简并度n2=4。
属于(shǔyú)该能级的4个简并态是:
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(4)求H’在各态中的矩阵(jǔzhèn)元
由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton量H’在以上(yǐshàng)各态的矩阵元。
我们碰到角积分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用(lìyòng)如下公式:
于是:
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仅当Δ=±1,
Δm=0时,
H’的矩阵元才
不为0。因此
矩阵元中只有(zhǐyǒu)
H’12,H’21
不等于0。
因为(yīnwèi)
所以(suǒyǐ)
欲使上式不为0,由球谐函数正交归一性
要求量子数必须满足如下条件:
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(5)能量(néngliàng)一级修正
解得4个根:
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