第节酉相似对角化(共18张PPT)精选.pptx

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第一页,共18页。
2、酉相似(xiānɡsì)
第二页,共18页。
2、正规矩阵(jǔzhèn)属于不同特征值的特征向量是正交的;
1、正规(zhèngguī)矩阵有n个线性无关的特征向量;
Schur定理(dìnglǐ)
3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
例判断(pànduàn)矩阵的正定性
即A是Hermite矩阵,从而是正规阵
(5)A的顺序主子式都大于0。
例1判断A是否(shìfǒu)为正规矩阵,如果是,将其酉对角化
例判断(pànduàn)矩阵的正定性
3、Schur定理(dìnglǐ)
(1)A是正定矩阵。
(2)A与单位矩阵合同。
证明(zhèngmíng)设x是方程组AHAx=0的非0解,
(1)A-1也是正定(zhènɡdìnɡ)矩阵。
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3、Schur定理(dìnglǐ)
(1)任意复方阵(fānɡzhèn)酉相似于一个上三角矩阵。即
第三页,共18页。
Schur定理(dìnglǐ)
(2)任意实方阵(fānɡzhèn)正交相似于一个上三角矩阵。即
第四页,共18页。
引理正规上三角矩阵(jǔzhèn)是对角矩阵(jǔzhèn)
证明设n阶矩阵A是正规(zhèngguī)上三角矩阵,则
第五页,共18页。
比较(bǐjiào)等式两边,可得
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定理,则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,即
证明(zhèngmíng)必要性
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充分性
由schur定理(dìnglǐ)知,A酉相似于一个上三角矩阵T,
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正规(zhèngguī)矩阵的性质:
1、正规(zhèngguī)矩阵有n个线性无关的特征向量;
2、正规矩阵(jǔzhèn)属于不同特征值的特征向量是正交的;
3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。
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解显然(xiǎnrán)A满足
求得对应(duìyìng)的线性无关特征向量
例1判断A是否(shìfǒu)为正规矩阵,如果是,将其酉对角化
即A是Hermite矩阵,从而是正规阵
由
得A的特征值
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