产生空心高斯光束的改进型菲涅尔波带片 李潮越.pdf

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激光与光电子学进展
Laser&OptoelectronicsProgress
ISSN1006-4125,CN31-1690/TN
《激光与光电子学进展》网络首发论文
题目:产生空心高斯光束的改进型菲涅尔波带片
作者:李潮越,曹清,程长杰,朱吉瑞
网络首发日期:2022-07-18
引用格式:李潮越,曹清,程长杰,
[J/OL].激光与光电子学进展.
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发论文视为正式出版。
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췸싧쫗랢쪱볤ꎺ2022-07-1815:32:34
췸싧쫗랢뗘횷ꎺ.
产生空心高斯光束的改进型菲涅尔波带片
李潮越,曹清*,程长杰,朱吉瑞
上海大学理学院物理系,上海200444
摘要空心高斯光束是一种不携带轨道角动量的空心光束,它的暗斑尺寸较小,函数公
式简单,在原子引导、粒子操控、光通信等领域具有潜在应用价值。近年来,关于波带片
的研究不断深入,本文通过使用等效光瞳函数理论,说明了波带片的焦平面复振幅分布函
数正比于其等效光瞳函数的傅里叶-贝塞尔变换,可以通过此关系设计产生空心高斯光束
的波带片。作为一个应用,本文计算了分别用来产生一阶、三阶、六阶空心高斯光束的波
带片的等效光瞳函数,据此设计了这三个波带片的结构参数,并研究了改变波长和焦距对
波带片结构参数和暗斑尺寸的影响。基于瑞利-索末菲衍射积分对这三个改进型菲涅尔波
带片的焦平面光场进行仿真模拟,仿真结果与预期相符,验证了使用等效光瞳函数法设计
波带片的可靠性和精确性
关键词衍射光学;菲涅尔波带片;空心高斯光束;光学成像;光束整形
中图分类号O436文献标志码A
GenerationofHollowGaussianBeamswithModifiedFresnelZone
Plates
LiChaoyue,CaoQing*,ChengChangjie,ZhuJirui
DepartmentofPhysics,CollegeofSciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China
AbstractHollowGaussianbeamisaclassofhollowbeamthatdoesn'tcarryorbitalangular
momentum,
haspotentialapplicationsinthefieldsofatomicguiding,particlemanipulation,optical
,theresearchesaboutzoneplatesareunceasingly
,thispapershowsthatthefocalplanecomplex
amplitudedistributionfunctionofthezoneplateisproportionaltotheFourier-Besseltransformof

,wecalculatetheequivalentpupil
functionsofthezoneplatestoproducethe1th,3thand6thorderhollowGaussianbeamsseparately,

andthefocallengthofthezoneplatestostudyhowtheyinfluencethestructureparametersand
-Sommerfelddiffractionintegral,wesimulatethefocalplane

expectations,whichverifiesthereliabilityandtheaccuracyofusingtheequivalentpupilfunction
methodtodesignFresnelzoneplates.
Keywordsdiffractionoptics;Fresnelzoneplate;hollowGaussianbeam;opticalimaging;
beamshaping
;;
通信作者:*E-mail:******@
:.
1引言
空心光束(HollowBeam)是指在传播方向上中心强度或轴向强度为零的特殊光束,其
在强度为零的点存在相位不确定性。近年来,凭借着暗斑尺寸小和无接触性等优势,空心
光束得到了广泛应用[1-6]。从20世纪90年代以来,已经发展了描述空心光束的多种理论模
型,如空心高斯光束[7]、拉盖尔-高斯光束[8]、高阶贝塞尔高斯光束[9]等。在此期间也出现
[10][11][12]
一些产生空心光束的方法,比如横模转换法、几何光学法、光全息法、计算机生成
全息图[13]、空心光纤法和锥形光纤法[14-15]、空间滤波法[16],也可以通过波带片和光子筛[17-
19]
产生空心光束。
2003年,浙江大学的蔡阳健提出了一种描述空心光束的新模型——空心高斯光束[7],
在此之后很多团队研究了这种光束的传播特性[20-24],空心高斯光束已被证明在原子捕获和
[25][26][27][24]
引导、粒子操控、光通信、激光直写等领域具有潜在应用价值。近年来,科研人
员研究了许多产生了空心高斯光束的方法,2007年和2008年,ZhengJunLiu团队分别使
[28-29]
用空间滤波法和相位滤波法产生了空心高斯光束。2012年,YongmingNie等通过纯相
位液晶空间光调制器将准高斯光束变换成空心高斯光束[30]。2014年,CunWei等使用外腔
调制将拉盖尔-高斯光束转换成空心高斯光束[31]。2020年,LuLu等通过热透镜效应将高斯
[32]
光束转换为空心高斯光束。
传统的菲涅尔波带片(TraditionalFresnelzoneplates,TFZP)具有矩形相位结构,可将
[33-35][36][37]
入射平面波转换为球面波。菲涅尔波带片常用于聚焦和成像、通信、X射线显微、
光谱学[38]、生物医学[39]等领域。此外,多项科研成果也体现了波带片具有产生空心光束的
能力和价值[40-43]。2011年,GaoNan等使用二元相位方形的螺旋波带片产生了空心光束,
[40]
经理论和实验研究,发现这种空心光学涡旋呈方形对称。2012年,易涛等对螺旋波带片
聚焦进行了理论推导,得到了解析级数解,并通过分析表明了产生的空心环宽度是空间分
[41]
辨率的一个重要数值指标。2016年,朱厚飞等提出使用切趾波带片的方法,使用七环π
相移的波带片,[42]。2021年,YuJian团队
在复合光纤结构顶部刻蚀螺旋波带片产生了超可变聚焦空心涡旋光束,这项研究成果有望
[43]
用于粒子操纵、大容量通信和光纤内窥镜成像。
本文使用了菲涅尔波带片的等效光瞳函数理论,通过对空心高斯光束的解析表达式进
行傅里叶-贝塞尔变换求得波带片的等效光瞳函数,给出了具体的波带片设计参数,并使用
Matlab软件仿真模拟了焦平面的光场强度分布,与理论表达式进行了比较,验证了设计的
:.
有效性。本文通过调节波长和焦距,研究了波带片的结构参数的变化,并讨论了制造工艺
误差对波带片焦平面光束质量的影响。
2波带片的等效光瞳函数理论
如图1(a)所示的是传统菲涅尔波带片,透明环(白色区域)对焦点有正面的振幅贡
献,不透明环(黑色区域)则相反,对焦点有负面的振幅贡献。图1(b)所示的是菲涅尔
波带片的成像示意图,波带片平面和焦平面的极坐标径向变量分别为r,R,角向变量由于
不影响计算结果故不列出。TFZP第n环中央(sr=2坐标系下的环中央位置)距离焦点
ffnn=+,其中f为焦距,为波长,TFZP的中心到第n环中央的距离为
rnfnnfn=+22,22这个近似是由于一般情况下波带片的焦距远大于波长(第
n环中央指的是在sr=2坐标系下的中央,在r坐标系环中央到焦点的距离不等于f)。
n
图1传统菲涅尔波带片。(a)结构示意图;(b)成像示意图
(TFZP).(a)Schematicdiagramofstructure;(b)schematicdiagramof
imaging
2003年,曹清和Jahns使用改进型菲涅尔波带片产生了锐利的高斯形焦斑[44],紧接着,
[45]
他们建立了等效光瞳函数理论,可以使用这种方法定制任意轮廓的焦斑函数。根据参考
文献[45],波带片的焦平面复振幅分布函数UR()的表达式为:
2πA,(1)RR2
URkWrrrr()=FFFexpjJ22()0πd
0
式(1)表明焦平面光场振幅分布正比于等效光瞳函数的傅里叶-贝塞尔变换。式中:A为波
带片的最外侧到中心的距离,j1=−为虚数单位,F是所有fn的平均值,即
Fff=+(),2J0表示零阶第一类贝塞尔函数。Wr()是波带片的等效光瞳函数,在
1max
:.
第n环上时为Wr(n):
2fF,(2)kdn
Wrkff(nn)=−πDffexpjsin()2
nnn
式中:k=2π是波数,设第n个环的内圆、外圆半径分别为a、b,则在s坐标系下
nn
透明环宽度的一半为22,对于TFZP,设πD表示第n个波带(包含了透
dbannn=−()2n
明环加不透明环)的总面积,则有Dwdfnnnn===242。使用s坐标系的优点是,所
有透明环(或不透明环)的在s坐标系的宽度是fn,它在相邻的环上基本相等。
式(2)中的kff−对应着波带片第n环在焦点处振幅贡献的相位。当
(n)
时,表示积分区间在波带片上对焦点振幅贡献为正的环上,
expj1kff(n−=)
时,表示积分区间在波带片上对焦点振幅贡献为负的环上。式(2)
expj1kff(n−=−)
最后一项表明,波带片的聚焦能力随透明环的半宽的变化而呈正弦函数的形式改变,对于
TFZP,第n个透明环的半宽dfnn=2,此时式(2)中的kdfnn2=π2,这意味着此
环的等效光瞳函数Wr(n)达到最大值,这与传统菲涅尔波带片设计理念一致,所有的环对
焦点呈建设性干涉,提高了衍射聚焦能力。
3设计产生空心高斯光束的波带片
一般地,第m阶空心高斯光束在焦平面光场振幅为[7]
RR22m(3)
URAm()=−0VV22exp,

式中:m为空心高斯光束的阶数,当m=0时,式(4)表示高斯光束,A0为此光场的振幅
最大值,V是此高斯光束的束腰半径(在波带片领域的论文中,常用w表示波带片环带宽度,
在这里高斯光束的束腰半径用V来表示)。如图2所示,当m增加时,空心区域的暗斑尺寸
(Darkspotsize,DSS,表示归一化强度为1e2的全宽尺寸)增大。
:.
图21阶、3阶和6阶空心高斯光束的归一化强度分布图
=1,3,and6
下面推导可产生空心高斯光束的波带片等效光瞳函数。在研究过程中,我们逐渐加深
了对空心高斯光束的傅里叶-贝塞尔变换的认识。首先,计算了拉普拉斯算子对高斯函数
的m阶导数,说明了高斯函数的m阶拉普拉斯算子正比于m阶空心高斯光束的振幅函数
的傅里叶-贝塞尔变换,具体推导过程见附录A。接着,计算了一阶到六阶空心高斯光束
的傅里叶-贝塞尔变换,计算结果都是高斯函数与多项式的乘积形式,这些多项式经检验
分别对应着一阶到六阶拉盖尔多项式。
最后,证明空心高斯光束函数表达式的傅里叶-贝塞尔变换正比于拉盖尔多项式和高
[46]
斯函数乘积,使用广义拉盖尔多项式的恒等式:
−1
()exp(,xx)(4)2m+1
Lxttxttm()=−−expJ2d,1()2()
m!0
式中:m为拉盖尔多项式的阶数,−1,J表示阶第一类贝塞尔函数。替代式
(4)的三个变量,使=0,tR=π2,xr=π2时,可得:
2
(0)2222exp(πr)m
LrRRRrRm(π)=−(π)exp(π)J20(π)d(π)
m!0
m
2π222
=exp,(5()πrRRRrRR)(π)exp(−π)J20(π)d
m!0
Lx(0)()为标准拉盖尔多项式,式(5)可进一步转化为:
m
2222m,(6)m!(0)
(πRRRrRrLr)exp(−−π)J20(π)d=exp2π(π)m(π)
0
式(6)也可以写为
:.
m!2222,((7)0)m
2πexp(−=−πrLrRrrRR)m(π)J20(π)d(π)exp(π)
0
式(7)表明了可产生空心高斯光束的波带片Wr()正比于高斯函数和标准拉盖尔多项式
的乘积。式(7)也证明了,在光学中,第m阶空心高斯光束的傅里叶-贝塞尔变换是径
向阶数为m(角向阶数为0)的拉盖尔-高斯光束。由此可构造和设计产生空心高斯光束
的等效光瞳函数法。通过调制波带片环中央位置和环宽,使Wr()正比于m阶拉盖尔多
项式与高斯函数的积:
WrrLr−expπ22(0)(π8),
mm()()()
即可获得能产生m阶空心高斯光束的波带片。
下面设计分别能产生一阶、三阶、六阶空心高斯光束的改进型菲涅尔波带片。首先需
确定波带片的焦距、波长和波带数,其中焦距f=1mm,波长λ=3nm(位于“水窗”~
),且这些波带片都使用了300个透明环(总波带数N=600,只取其中奇数波
带)。选择这个波长是因为使用空心高斯光束作为损耗光,可以应用于超分辨率荧光显微
[47]
镜领域,这种显微镜使用高数值孔径物镜在荧光样品上产生锐利的聚焦泵浦光和损耗空
心光[6],使用3nm波长的软X射线能提高超分辨率荧光显微镜的性能。
通过等效光瞳函数理论可以得到波带片的所有结构参数,如波带片尺寸(最外环的半
径)、环中央位置和环宽。三个波带片的等效光瞳函数分别正比于Wr、Wr、Wr:
1()3()6()
Wrrr=−−1π,22expπ(9)
1()()()
6422(10)
Wrrrrr3()=−+−+−(π9π18π6exp)(π),
πrrrr121086。−+−+(3611)π450π2400π2
Wrr6()=−42exp(π)
5400πrr−+4320π720
图3表示归一化波带片等效光瞳函数Wr()关于环数的变化关系,Wr()、Wr()、
13
Wr()的第一环皆为最大值,Wr()、Wr()和Wr()分别有1、3、6个拐点。
6136
:.
图31阶、3阶、6阶空心高斯光束的归一化等效光瞳函数
=1,3,and6
在设计中,当等效光瞳函数为正值时,透明环位置rnfnn=+2不变22;当等效
光瞳函数为负值时,透明环位置向外延伸半波带,r应替换为r。
nn+
确定了透明环的位置后,接下来确定透明环环宽。通过将式(2)逆向推导,得出第n
环半宽dn的特解(反正弦函数在理论上有无穷多解):
2fDfnnn,(12)π
dMWrnn=−πarcsin()
kfF2
式中:M为正整数,在Wr()为正数的情况下,当环的选择条件expj1kff−=时,
n(n)
M取奇数;当环的选择条件时,M取偶数。Wr()是负数时则相
expj1kff(n−=−)n
反。
根据对M取值的定义,将M=1、WrWr()=()代入到式(12)便可以得到波带片
nn
的环宽。d的计算结果将大于TFZP的dTFZP,且d的极大值约等于dTFZP的
nn()nn()
二倍,即ddnn(max)2TFZP(,这种极限情况下),两个相邻的透明环之间的距离将非常窄。
为避免此问题,在设计中只用n为奇数的环,将常规波带片的两个波带合并成一个分区,
两相邻透明环中央在s坐标系的距离ssw−=4,是w(TFZP)的4倍。当波带片第n
nnn−1n
环的等效光瞳函数Wr由正值变为第n+2环时的负值时,透明环中央相对会向外挪动一
(n)
:.
个TFZP环宽wn,此时sswnnn−=−15(;T反之,FZPWr()n)由负值变成正值时,透明
环中央相对会向内挪动一个TFZP环宽ws(),ssw−=3(T。FZP在)
nnnn−1
dd2TFZP(的极限情况下),两个透明环的环宽的距离为2w(TFZP)=50nm,所
nn(max)n
以所有环的相邻边界最短距离都大于50nm,这样设计能降低波带片的制造难度。
图4(a)表示TFZP每环中央到波带片中心的长度距离,m=1、3、6三种情况的rn
在这个坐标系下几乎完全无法分辨。图4(b)及其子插图表示产生1、3、6阶空心高斯光
束和TFZP的波带片的环宽wr(),这三个波带片最外环的环宽约50nm,最外环半径约为
n
60μm。
图4波带片的设计参数。(a)TFZP环中央到波带片中心的距离;(b)分别产生1、3、6阶空心高斯光
束和TFZP的环宽对数图
Fig4Designparametersofzoneplates.(a)Thedistancebetweenthecenterofringsandthecenterofthe
traditionalFresnelzoneplate(TFZP);(b)thewidthofringsofthezoneplatestoproducetheHGBsoforder
m=1,3,and6andthetraditionalFresnelzoneplates(TFZP)respectively
4讨论
首先讨论波带片产生空心高斯光束的准确性。本文使用环衍射模型(结合了单环衍射
公式[45]和线性叠加原理的计算模型)对上述三个波带片的衍射聚焦结果进行了模拟仿真。
如图5(a)所示,在焦平面距离焦点较近的区域,仿真的归一化光强曲线与空心高斯光束
的强度函数曲线基本重合,这证明了使用等效光瞳函数法设计波带片在产生空心高斯光束
上的准确性。由图5(b)的焦平面成像图可知,一阶、三阶、六阶空心高斯光束的暗斑逐
:.
渐增大,这三个暗斑的尺寸分别约为39nm,128nm,174nm。
图5焦平面光场仿真。(a)环衍射模型与等效光瞳函数模型得到的焦平面归一化强度分布,其中线a、
c、e分别表示1、3、6阶空心高斯光束焦面仿真光场强度分布图,图形标记b、d、f分别表示1、3、6
阶空心高斯光束的理论强度分布图;(b)三个波带片空心焦斑图案
.(a)Normalizedintensityprofileonfocalplaneobtainedfromthe
ringdiffractionmodelandtheequivalentpupilfunctionmodelrespectively,Linesa,canderepresentthe
simulatedlightintensitydistributiononfocalplaneofHGBsoforderm=1,3,and6respectively,andthemarkers
b,dandfrepresentthetheoreticalintensitydistributionofHGBsoforderm=1,3,and6respectively;(b)the
hollowfocalspotpatternofthesethreezoneplates
波长和焦距能直接影响波带片的结构参数和产生光束的指标。接下来,研究波带片的
工作波长分别是3nm、10nm、20nm、30nm,焦距固定为1mm,产生一阶空心高斯光束时,
波带片结构参数和暗斑尺寸DSS的变化。图6(a)表示这四个波带片的环中央位置随环数
N的变化。图6(b)表示这四个波带片各环的环宽随环数N的变化。图6(c)表示这四个
波带片的环宽与波长为3nm波带片环宽的比值。图6(d)表示这四个波带片产生的一阶空
心高斯光束归一化光场强度图,它们在焦平面上形成的空心高斯光束暗斑尺寸DSS依次增
大且分别是39nm、71nm、101nm和124nm。
当波长不变而焦距发生改变时,波带片的结构参数和暗斑尺寸的变化趋势与上述结论
相近。式(8)中的傅里叶-贝塞尔变换关系表明,产生第m阶空心高斯光束的等效光瞳函
数经过伸缩变换后是全等的,因此这些波带片的结构相似。由于传统波带片第n环中央位
置rnfn,这意味着波长与焦距对波带片的结构参数具有相同的影响模式,当焦距不
变时,随着波长缩放到之前的M1倍,波带片的尺寸和各环环宽将缩放M倍;当波长不
1
:.
变时,如果焦距缩放为原来的M2倍,波带片的各种结构参数也等比例缩放M倍。
2
图6波长3nm、10nm、20nm、30nm波带片的结构参数和暗斑尺寸。(a)环中央的位置;(b)各环的
环宽;(c)不同波长的环宽与3nm波长的环宽比值;(d)空心高斯光束的归一化光强分布曲线
Fig6Thestructureparametersanddarkspotsizeofzoneplatesdesignedfor3nm,10nm,20nm,30nm.(a)The
centerpositionofrings;(b)thewidthofrings;(c)theratioofthewidthofringsfordifferentwavelength
comparedtothatfor3nm;(d)thenormalizedintensitydistributionofhollowgaussianbeams
近年来,波带片的制造工艺水平越来越先进,这更有利于我们设计波带片。2014年,
ChristianEberl团队研究了制备多层波带片的方法[48],这种方法结合了脉冲激光沉积[49-
50][51]
(pulsedlaserdeposition,PLD)和聚焦离子束(focusedionbeam,FIB)技术,它能光滑和
无损伤的制造多层波带片,。2018年,UmutTuncaSanli课题
[52]
组使用的多层波带片制造工艺准确度小于1nm。在当前的多层波带片工艺水平下,当前
制造工艺可以较精确的加工出本文设计的波带片,因为即使是最外环,制造工艺的相对误
差也不超过2%。、1nm、,图
7(a)表示环的随机误差数值。接着,对波带片的焦平面光场强度进行了仿真,图7(b)
的仿真结果表明,焦平面的一阶空心高斯光束都具有较好的质量,且制造工艺的误差越低,
焦平面的光束质量越好。使用等效光瞳函数理论设计波带片的方法扩展到紫外、可见光、
:.
红外等波段时,波带片的环宽、波带片尺寸等结构参数增大,波带片元件的相对加工误差
随之减小,能够产生光束质量更好的空心高斯光束。
图7引入随机误差的焦平面光场强度图。(a)环的随机误差数值;(b)波带片的焦平面归一化光场强
度,插图是中央部分的对数图
Fig7Thelightfieldintensityonfocalplanethathasrandomerror.(a)Theerrorvalueoftherings;(b)