数论与有限域 第六章课件.ppt

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第一节有限域的加法结构
一、域的特征
二、有限域F中的元素个数
一、域的特征
设e为有限域F中的乘法单位元。定义F中的序列{u0,u1,u2,…}如下
u0=0,un=un-1+e,其中n=1,2,...
则易知nZ,有un=ne,于是在此序列中,m和n,有
um+n=(m+n)e=me+ne=um+un
且
umn=(mn)e=(mn)e2=me·ne=um×un。
由于F是有限域,因而序列{u0,u1,u2,…}中的元素不可能都不相同,故可设存在整数c,使得u0=0,u1,u2,…,uk+c-1互不相同且uk+c=uk。又uk+c-uk=uc,即uc=ce=0。因而我们找到了一个整数c,使得ce=0。一般地
一、域的特征
,则F的特征c必定为素数。
证明:假设相反,设正整数c=a×b,其中1≤a≤c,1≤b≤c,则由上述有限域F中的序列{u0,u1,u2,…}所具有的性质知
uc=ua×ub。
但uc=0,而ua与ub均不为0,如此与域中无零因子的性质相矛盾,因而c必定为素数。
在以下的叙述中,记有限域的特征为字母p,则易知序列{u0,u1,u2,…}中第一个出现重复的元素是
up=0,进而u0,u1,u2,…,up-1互不相同。
二、有限域F中的元素个数
,即q=pm。
证明:首先,容易验证域F的子集{u0,u1,u2,…,up-1}构成了F的一个子域,记为Fp。
若F=Fp,则q=p,结论得证。
否则设ω1F-Fp,则a,bFp,在F中都可以对应地找到一个元素aω1+b,显然在F中共有p2个元素具有这样的形式,因而若域F中元素的数目q=p2,则定理得证。
二、有限域F中的元素个数
否则在F中选择不具有形式aω1+b的元素ω2,则a,b,cFp,在F中都可以对应地找到一个元素aω2+bω1+c,显然在F中共有p3个元素具有此形式,因而若域F中元素的数目q=p3,则定理得证。
否则,我们在F中选择不具有形式aω2+bω1+c的元素ω3,…。
最终,在F中可以选定一组元素{ω1,ω2,…,ωm-1},使得F中的每个元素α都有唯一的表达式:α=a1+a2ω1+a3ω2+…+am-1ωm-1,其中aiFp,i=1,2,…,m-1。由于每个ai有p个可能的取值,因而F中恰有pm个元素。定理得证
二、有限域F中的元素个数
,对有限域F的加法结构我们可以得到如下认识:
有限域F中的元素可以看做是域Fp中元素构成的m元组,且
(a1,a2,…,am)+(b1,b2,…,bm)=(a1b1,a2+b2,…,am+bm)
接下来,我们来研究域F的乘法结构。
一、元素的阶
以下设F为有限域,F*为有限域F中的所有非零元素构成的集合,αF*,考察由α的各个幂次所构成的序列{e,α,α2,…,αn,…}的性质。
首先由域F对乘法运算的封闭性,知i,αiF,又F是有限域,因而序列{e,α,α2,…,αn,…}中必然会出现重复。
设{e,α,α2,…,αk+t-1}互不相同且αk=αk+t,则
k=0;
否则若k>0,则由αk=αk+t得到
αk-1=αk+t-1,
这与{e,α,α2,…,αk+t-1}互不相同相矛盾,进而αt=e。
一般地
一、元素的阶
,αF*,若α的阶为t,则t|(q-1)。
证明:由域的定义,F*构成了乘法群,由于α的阶为t,即
αt=e,
因而{e,α,α2,…,αt-1}构成了F*的子群。拉格朗日定理子群中的元素个数一定会是整个群的元素个数的因子,因而
t|(q-1)。
一、元素的阶
从而r(x)是F[x]中的常数多项式,也即域F中的一个元素。由于p(α)=0,因而
p(α)=q(α)(α-α)+r(α)=0,即r(α)=0,
而r(x)是域F中的一个元素,因而
r(x)=0,于是
p(x)=q(x)(x-α),
并且方程p(x)=0的任意一个不等于α的根β都是方程q(x)=0的根。
但是q(x)的次数为m-1,由归纳假设方程q(x)=0至多有m-1个根,因而方程p(x)=0至多有m个根。