随机信号重要知识点.doc

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2
2
往常称
x(t)为信号x(t)的能量密度或刹时功率。信号的总能量是对
x(t)在整个
时间范围积分,即
Ex
2
x(t)dt
()
同理,失散信号的总能量定义为
Ex
2
x(n)
()
n
假如信号的总能量有限,即
E<∞,则称x(t)或x(n)为能量信号;假如信号的总能
x
量无穷,即
Ex>∞,可是其均匀功率有限,即
1
PxlimT
T
或(关于失散信号)

T
2
T
2

2
()
x(t)dt
Pxlim
1
N
2
2N
x(n)
()
T
1nN
则称x(t)或x(n)为功率信号。
但是,关于数字信号办理,信号办理的长度老是有限的。而在有限的区间内信号的总能量是有限,所以在办理运算时,能够对功率信号与能量信号不加以差别。仅当考虑
均匀功率、均匀谱密度时,需要考虑系数
1(2N1)。

时间信号能够用不一样频次的正弦波睁开(或傅里叶级数睁开)
,即信号的傅里叶积
分反变换:
x(t)
1
X(
)e
j
t
d
(
)
2
此中X()是x(t)的傅里叶变换,又称为频谱,它等于
X(
)
x(t)e
jtdt
(
)
可见,时间信号能够看作是由简单的正弦波
ejt相加(线性叠加)构成,
X()是x(t)
在频域或频次空间的表示。
假如信号x(t)的频谱X()在较窄的频次区间内存在,则称其为窄带信号。与之对应的是,假如信号x(t)的频谱X()在较宽的频次区间内存在,则称其为宽带信号。
信号办理的理论基础
数字信号办理的理论基础:1)Nyquist—Shannon采样定理;2)傅立叶级数;3)
z-变换。时域剖析、频域剖析。FFT算法,滤波器设计。
随机信号数字特点量
1)一维散布的数字特点量
随机信号的均值函数
x(t)EX(t)xf(t,x)dx(2-10)
它表示了所有样本函数(样本序列)在同一时刻取值的整体均值,它又称为一阶原点矩。
随机信号的均方函数
Dx(t)EX2(t)x2f(t,x)dx(2-11)
它表示了所有样本函数(样本序列)在同一时刻取值的整体均方,又称为二阶原点矩;它也表示了在样本函数空间的刹时功率,也就是在总集意义下的刹时功率。
随机信号的方差函数
2x(t)E[X(t)x(t)]2[xx(t)]2f(t,x)dx(2-12)
它表示了随机信号在均值函数上下的起伏程度,它又称为二阶中心矩。
一维散布的数字特点量之间的关系
Dx(t)
x2(t)x2(t)
(2-13)
证明:由于
x2(t)
[x
x(t)]2f(t,x)dx
x2f(t,x)dx2
x(t)
xf(t,x)dxx2(t)
f(t,x)dx
由(2-10)
,即可得(2-14)。
2)二维散布的数字特点量
对随意的t1,t2
T,随机变量X(t1)和X(t2)的协方差称为随机过程
函数(Autocovariance
)
Cx(t1,t2)
E[X(t1)
x(t1)][X(t2)x(t2)]
[x1x(t1)][x2
x(t2)]f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
而X(t1)和X(t2)乘积的希望
Rx(t1,t2)EX(t1)X(t2)x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
称为随机过程X(t)的自有关函数(Autocorrelation)。
自协方差和自有关函数能够看作是随机变量的协方差与有关系数的推行,机信号不一样时刻取值的关系程度。
由n维散布的相容性,简单得出以下关系

X(t)的自协方差
(2-14)
(2-15)
它们表示了随
Rx(t1,t2)Cx(t1,t2)x(t1)x(t2)(2-16)
证明:若X(t1)和X(t2)的结合散布密度函数为f(t1,t2,x1,x2),则X(t1)和X(t2)的
边沿散布密度函数分别为
f(t1,x1)f(t1,t2,x1,x2)dx2,f(t2,x2)f(t1,t2,x1,x2)dx1
且
f(t1,t2,x1,x2)dx1dx21
所以
Cx(t1,t2)x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2x(t1)x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
(t2)x1f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
x(t1)x(t2)f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
x(t1)
x2[
f(t1,t2,x1,x2)dx1]dx2
x(t2)
x1[
f(t1,t2,x1,x2)dx2]dx1
x(t1)x(t2)
f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
x1x2f(t1,t2,x1,x2)dx1dx2
x(t1)
x2f(t2,x2)dx2
x(t2)
x1f(t1,x1)dx1
x(t1)x(t2)
Rx(t1,t2)
x(t1)x(t2)
3)二维随机过程的互协方差函数与互有关函数
为了表示了两个不一样的随机信号
X(t),t
T和Y(t),t
T在不一样时刻t1T和t2T
取值的关系程度,定义两随机信号的互协方差函数与互有关函数为:
互协方差函数(Cross-covariance
x(
1)][
(2)
y(
2)]
C
xy(
1
,
t
2)
E
[
X
(
1)
t
t
t
t
Yt
[x
x(t1)][y
y(t2)]f(t1,t2,x,y)dxdy
(2-33)
互有关函数(Cross-correlation
)
Rxy(t1,t2)
E
X(t1)Y(t2)
xyf(t1,t2,x,y)dxdy
(2-34)
此中f(t1,t2,x,y)是X(t1)和Y(t2)的结合散布密度函数。
互协方差函数与互有关函数存在关系
Rxy(t1,t2)
Cxy(t1,t2)
x(t1)
y(t2)
(2-35)

X(t),关于所有的t
T,其均值与均方都存在,就称其为二阶
定义:一个随机信号
矩过程。
性质:1)二阶矩过程的自协方差函数关于所有的
t1,t2
T存在;
2)二阶矩过程的自有关函数关于所有的
t1,t2T存在。
由施瓦兹不等式
[Cx(t1,t2)]2{E[X(t1)x(t1)][X(t2)x(t2)]}2
E[X(t1)x(t1)]2E[X(t2)x(t2)]22x(t1)x2(t2)
安稳随机过程
如果随机过程X(t)的均值是常数,它的自有关函数Rx(t1,t2)只取决于时间差
t2t1
(t2t1),即
x(t)
EX(t)
=常数
(2-17)
Rx(t1,t2)
EX(t1)X(t2)
EX(t1)X(t1
)
EX(t)X(t
)Rx()(2-18)
则称其为广义安稳随机过程。
安稳随机过程的一、二维散布的数字特点有以下性质:
1)一维散布的数字特点都是常数
x(t)
EX(t)
=常数
(2-21)
Dx(t)
EX2(t)
Rx(0)
Dx
常数
(2-22)
2
Dx(t)
2
2
(2-23)
x(t)
x(t)
x常数
2)二维散布的数字特点都是单变量函数
Rx(t1,t2)
Rx(
)
(2-24)
Cx(t1,t2)=Rx(t1,t2)
x(t1)x(t2)
Rx()
2
x
安稳随机过程的各态遍历性
定义:一个安稳随机过程,假如知足:
1)它的单调样本的时间均匀与总集均匀(某一时刻的统计均匀)相等;
2)它的单调样本的时间自有关与总集自有关相等;
则称其为各态遍历的随机过程。
意义:关于安稳随机过程,若知足各态遍历条件(实质中它们是经常能够知足的),它的样本空间的均匀、有关能够用对时间的均匀、有关来取代。只需用安稳过程在足够长时间的一次实现,就能够确立过程的均值和有关函数。这正是遍历性定理在适用上重要的原由。
推论:各态遍历的安稳随机信号
X(t)的在总集意义下的刹时功率
EX2(t)与单调样
本函数x(t)的均匀功率相等,即
Pxlim
1
T
2(t)dtEX
2(t)Rx(0)
Tx
T
2T
结合安稳随机信号
1)二维随机过程的互协方差函数与互有关函数
为了表示了两个不一样的随机信号
X(t),tT和Y(t),t
T在不一样时刻t1T和t2T
取值的关系程度,定义两随机信号的互协方差函数与互有关函数为:
互协方差函数(Cross-covariance
Cxy(t1,t2)
E[X(t1)
x(t1)][Y(t2)
y(t2)]
[x
x(t1)][y
y(t2)]f(t1,t2,x,y)dxdy
(2-33)
互有关函数(Cross-correlation
)
Rxy(t1,t2)EX(t1)Y(t2)
xyf(t1,t2,x,y)dxdy
(2-34)
此中f(t1,t2,x,y)是X(t1)和Y(t2)的结合散布密度函数。
互协方差函数与互有关函数存在关系
Rxy(t1,t2)
Cxy(t1,t2)x(t1)y(t2)
2)结合安稳
假如随机过程X(t)和Y(t)是安稳的,它们的互有关函数Rxy(t1,t2)与时间的起点,而
仅依靠于时间差t2t1,(t2t1),即
Rxy(t1,t2)EX(t1)Y(t2)EX(t1)Y(t1)EX(t)Y(t)Rxy()(2-36)
则称它们是结合安稳的。
结合安稳随机过程的互协方差函数
结合安稳随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为
Cxy(t1,t2)Rxy(t1,t2)x(t1)y(t2)Rxy()xy
结合安稳随机过程的各态遍历
关于结合安稳的随机信号
X(t)和Y(t),假如各自的样本函数
关与样本总集互有关相等,即
lim
1
T
Rxy()EX(t)Y(t)
2T
Tx(t)y(t
T
则称它们是各态遍历的结合安稳随机过程。此时,互协方差函数为

Cxy()
(2-37)
x(t)和y(t)的时间相互
)dt(2-38)
Cxy()
Rxy(
)
xy
lim
1
T
x(t)y(t)dtlim
1
T
1T
2T
T
2T
Tx(t)dtlim
2T
T
y(t)dy
T
T
T
随机序列散布函数与数字特点量
关于随机序列,仅需在上述各个公式中作替代:
tn,t1
n1,t2
n2,
m,T
1
N,
2T
比如,关于随机序列,安稳性条件是

T
T

N
1
2N1nN
xEX(n)
lim
1
N
x(n)
2N
N
1nN
lim
1
N
Rx(m)EX(n)X(nm)
x(n)x(nm)
2N
N
1nN
小结
随机信号的一、二维数字特点:均值函数、均方函数、方差函数、自协方差函数、自有关函数、互协方差函数、互有关函数。
安稳过程、渐进安稳过程:一维数字特点是常数(趋于常数);二维数字特点是单变量函数(趋于单变量函数)。
安稳过程的各态遍历性:单调样本的时间均匀等于样本函数空间的总集均匀;单调样本的时间自有关等于样本函数空间的总集自有关。
内容总结
(1)随机信号重要知识点整理