2019年高考数学一轮复习课时分层训练46利用空间向量证明平行与垂直理北师大版.doc

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A组
基础达标
一、选择题

a=(1,0,2)
,平面α的法向量为n=(-2,0
,-4),则( )
∥α
⊥α
?α

B
[∵n=-2a,∴a与平面α的法向量平行,∴l⊥α.]

=(2,-1,3)
,
=(-1,4,-2),
=(7,5,λ).若
a
,
,
c
三向量共面,则实
a
b
c
b
数λ等于( )
62
63
A.
7
B.
7
60
65


[由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),
33
7=2t-μ,
t=7,
17
∴5=-t+4μ,
]
∴μ=7,
λ=3t-2μ,
65
λ=7.
→→→
=λCD+μCE,则直线AB与平面CDE的地址关系是( )
【导学号:79140251】


→→→→→→
[∵AB=λCD+μCE,∴AB、CD、CE共面,
AB与平面CDE平行或在平面CDE内.]
4.(2017·西安月考)如图7-7-8,F是正方体ABCD-,
若D1F⊥DE,则有( )
图7-7-8
=EB
=2EB
1
=2EB

A[分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为
2,则
(0,0,0),(0,1,0),
1(0,0,2)
,设(2,2
,
),→1=(0,1
,-2),→=(2,2
,
D
F
D
E
z
DF
DE
z
),∵
→1·
→=0×2+1×2-2=0,∴
z
=1,∴
1=.]
DF
DE
z
BE
EB
-7-9所示,在平行六面体
ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中
点,若平行六面体的各棱长均相等,则:
图7-7-9
1
1
①AM∥DP;
②1
∥1;
AMBQ
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上说法正确的个数为
( )




→→→→
1→→→→→1→→→
[A1M=A1A+AM=A1A+2AB,D1P=D1D+DP=A1A+2AB,∴A1M∥D1P,因此A1M∥D1P,由
线面平行的判判定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.]
二、填空题
-7-10所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的
中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的地址关系是________.
图7-7-10
垂直
→→
→
x,y,z轴,建立空间直角坐标系
(图
[以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为
1
1
1
1
→
→
略),设正方体的棱长为
1,则A(0,0,0)
,M
0,1,
,,0
,0,1
,AM·ON
2
,O2
2
,N2
1
1
=0,1,2·0,-2,1=0,∴ON与AM垂直.]
7.(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)
,B(0,1,0)
,C(1,0,0)
,平面β的一
个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面
α与β的地址关系是________.
α∥β
[设平面α的法向量为=(
x
,
,
),
m
y
z
由·
→=0,得
x
·0+
y
-
=0?
y
=
z
,
m
AB
z
→
由m·AC=0,得x-z=0?x=z,取x=1,
∴m=(1,1,1),m=-n,
∴m∥n,∴α∥β.]
→
→
→→→
,且BP⊥平面ABC,
=(1,5
,-2),BC=(3,1
,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3)
则实数x+y=________.
【导学号:79140252】
3+5-2z=0,
25
7
[由条件得x-1+5y+6=0,
3(x-1)+y-3z=0,
解得x=
40
,y=-
15
,z=4,
7
7
40
15
=
25
因此x+y=-
7
.]
7
7
三、解答题
1
-7-11,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=:平
面PQC⊥平面DCQ.
图7-7-11
[证明]如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA,DP,DC分别为x
轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
依题意有Q(1,1,0)
,C(0,0,1)
,P(0,2,0)
,
→
→
→
,-1,0)
.
则DQ=(1,1,0)
,DC=(0,0,1)
,PQ=(1
→→
→
→
∴PQ·DQ=0,PQ·DC=0.
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ,
又PQ平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.
10.(2017·郑州调研)如图7-7-12所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=2,E为PD上一点,PE=2ED.
图7-7-12
求证:PA⊥平面ABCD;
(2)在侧棱PC上能否存在一点F,使得BF∥平面AEC?若存在,指出F点的地址,
并证明;若不存在,说明原由.
[解]
(1)证明:∵PA=AD=1,PD=
2,
2
2
2
∴PA+AD=PD,
即PA⊥AD.
又PA⊥CD,AD∩CD=D,∴PA⊥平面ABCD.
(2)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为
x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0)
,B(1,0,0)
,C(1,1,0)
,P(0,0,1)
,
2
1
→
→
2
1
E
0,,
3
,AC=(1,1,0),AE=
0,
,
3
3
=(x,y,z),
→
x+y=0,
n·AC=0,
则
即
令y=1,则n=(-1,1,-2).
→
2
y+z=0,
n·AE=0,
→→
假设侧棱PC上存在一点F,且CF=λCP(0≤λ≤1),
→
使得BF∥平面AEC,则BF·n=0.
→→
→
又∵BF=BC+CF=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
∴→·
=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=1,
BFn
2
∴存在点,使得
∥平面
,且
F
为
的中点.
F
BF
AEC
PC
B组
能力提高
-7-13,正方形
ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直,
AB=2,AF=1,M在EF
上,且AM∥平面BDE.
则M点的坐标为(
)
图7-7-13
A.(1,1,1)
B.
2
2
3
,3,1
C.
2
2
D.
2
,,1
2,,1
2
2
4
4
[设AC与BD订交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF∩
平面BDE=OE,∴AM∥EO,
又O是正方形ABCD对角线交点,∴M为线段EF的中点.
在空间坐标系中,
(0,0,1),(
2,
2,1).
E
F
由中点坐标公式,知点
的坐标
2
,
2
.]
M
2
,1
2

→
→
,
ABCD所在的平面外一点,假如AB=(2
,-1,-4),AD=(4,2,0)
→
.对于结论:①
→
ABCD的法向量;④
→
AP=(-1,2,-1)
AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面
AP
→
∥.
【导学号:
79140253】
①②③
→→
→→
[∵AB·AP=0,AD·AP=0,
∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.
→
→
又AB与AD不平行,
→
∴AP是平面ABCD的法向量,则③正确.
→
→→
→
,-1)
,
∵BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2
→
→
∴BD与AP不平行,故④错误.]
13.(2017·北京房山一模
)如图7-7-14,四棱锥
P-ABCD的底面为正方形,侧棱
PA⊥底面
ABCD,
图7-7-14
且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,:(1)PB∥平面EFH;
PD⊥平面AHF.
[证明]

建立以下列图的空间直角坐标系

A-xyz.
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),
P(0,0,2),E(0,0,1),
F(0,1,1),H(1,0,0).
(1)
→
→
,-1)
,
∵PB=(2,0,-2)
,EH=(1,0
∴
→=2→,∴∥.
PB
EHPBEH
∵PB?/
平面EFH,且EH
平面EFH,
∴PB∥平面EFH.
→
→
→
,
(2)∵PD=(0,2
,-2),AH=(1,0,0)
,AF=(0,1,1)
→→
∴PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,
→→
PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0,
PD⊥AF,PD⊥AH.
又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面AHF.