例谈圆与圆的位置关系中辅助线的作法.docx

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汤慧
圆与圆的地址关系是初中几何的重要内容,解题中常需要增加一些必要的辅助线,经过作辅助线,经常能使问题化繁为简,化难为易。那么,增加辅助线有哪些规律呢?现以中考题为例进行说明,供同学们学****时参照。
,利用公共圆周角或圆内接四边形性质架设两圆角的关系的桥梁,实现角的等量代换。
例1.(2003年重庆市中考题)如图1,已知⊙O1与⊙O2订交于A、B两点,P是⊙O1上一点,PB的延长线交⊙O2于C,PA交⊙O2于D,CD的延长线交⊙O1于N。
①过点A作AE//CN交⊙O1于E,求证PA=PE
②连结PN,若PB=4,BC=2,求PN的长。
图1
解析:①欲证PA=PE,即证PAEE,连结AB,则AEPB是⊙O1的内接四边
形,故CBAE
又CBACDAPDN
因为AE//CN
因此PDNPAE
因此PAEE,故PAPE
PBC,PDA为⊙O2的两条割线,正好与PB、PC有关,故找PD、PA、PN的关系,连结AN,利用圆内接四边形性质可证
PDN~PNA
得PN2PBPC
故PN4626
.作订交两圆的连心线,利用连心线垂直均分公共弦,经过构造直角三角形解决有关计算问题
例2.(1999年锡山市中考题)⊙
O1和⊙O2订交于A、B两点,两圆半径分别为
62
和4
3,公共弦长为12,求O1AO2
的度数。
解析:圆心O1、O2可位于公共弦
AB的同侧或异侧。要求
O1AO2的度数,可利用
角的和或差来求。
(1)当O1、O2位于AB异侧时,如图2,连结O1O2交AB于C,则O1O2AB,分
别在RtAO1C和RtAO2C中,利用锐角三角函数可求得O1AC
45,O2AC
30
1
图2
故O1AO2
O1ACO2AC75
(2)当O、O
位于AB同侧时,如图
3,则
1
2
图3
O1AO2
O1AC
O2AC
15
综上可知,
O1AO2
75或15
,作过切点的公切线,利用弦切角架设两圆角的关系的桥梁
例3.(2004年武汉市中考题)如图
4,⊙O1和⊙O2内切于P点,过P作直线交⊙O1
于A点,交⊙O2
于B点,C为⊙O1上一点,过B作⊙O2的切线交直线
AC于Q点。
1)求证:ACAQAPAB
(2)若将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论可否成立?画出图形并
证明你的结论。
图4
解析:(1)欲证ACAQAPAB须证AQB~ACP,过P作内公切线PT,连
结PC得3C,31,又12,从而可得2C,故ABQ~ACP,
从而得证。
(2)当⊙O1与⊙O2外切时,其他条件不变,(1)中结论依旧成立,方法是过P作外
公切线,推理过程近似,请同学们自己完成。
议论:变换题设形成研究型试题,引导学生主动研究得出结论是新课程对学生的要求,也是中考命题的方向。其中第一问的证明方法是解决第二问的基础,为第二问的证明供应了方向和方法,望同学们掌握这类题的证明方法。
.有关公切线的计算,常平移公切线,组成以公切线,圆心距两圆半径差(或和)为三边的直角三角形,经过解直角三角形来解决。
例4.(2004年云南省中考题)如图5,⊙O1的半径r16,⊙O2的半径r22,且两
2
圆外切,AB和AC是两圆的外公切线,点
B、C、D、E分别是切点。
①求BAC的度数;
②在线段O2A上存在以点O3为圆心,半径为r3
的圆,若⊙O3与⊙O2外切且
AB和
AC是它们的外公切线,则称⊙
O3为点O3圆,求O3
圆的半径。
③同上,设在线段O3A上的点O4
圆的半径为
r4,线段O4A上的点O5圆的半径为
r5线段On1A上的点On的圆的半径为rn,求rn(用n表示)
图5
解析:①连结
BO1和EO2,过O2作O2F
O1B于F
则O1O2F
1
BAC
2
O1F
在RtO1O2F中,sin
FO2O1
O1O2
因此sin
1
O1F
r1
r2
621
2
BAC
r1
r2
622
O1O2
1
BAC
30,BAC60
因此
2
1
r2
r3
1
②同上,有sin
BAC
r3
2
2
r2
因此r3
1r2
3
3
③同上,有
rn
1
rn
1
rn
rn
2
1
因此rn
1
rn1
1
1
1
1
1
3
3
rn2
3
3
r2
3
3
因为r2
1
r1
6
3
3
6
因此rn
3n1
3