2.6传播子和Feynman路径积分.ppt

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一、波动力学的传播子
不含时哈密顿量体系的时间演化,可以用与H对易的观测量的本征矢展开初态即可求得:
或
其中,
将上述表达式改写成:
即
这里
称为传播子。传播子与初态无关,但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知,则传播子可构造出。
可见:1)波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理论);2)波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3)不同处:当测量介入时,波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”呈概率性,但统计几率确定。
二、传播子的基本性质
(,t>t0为变量,
不变):
2.(即)
这***质说明作为函数的传播子可看作是t0时处于的粒子在t时刻的波函数()
初态有空间分布时,则将初态波函数乘以传播子并对空间积分,与静电学求电势相似(但K有“相位”):
:
边界条件(对t<t0).
三、传播子的例子
传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。
。P与H对易,共同本征态
由
可得
自由空间高斯波包的扩散
由
和
可得:

波函数为
其传播子为
该式的直接证明非常复杂,需利用特殊函数的性质
也可通过a和a+算符方法
或者采用即将描述的路径积分方法。
由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数,位于x’的粒子将在回到原位置。
四、传播子的时间与空间积分
空间积分:
由于,取并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹。由于迹不随表象变,在表象中H对角,便于求出G(t)。
在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且为正实数,则G(t)演化为,与统计力学的配分函数是有相同形式。因此,研究量子力学传播子的一些技巧与方法对统计力学也有用(反之亦然)。
G(t)的Laplace-Fourier变换
被积函数振荡,积分不易求。令E→E+iε,且ε→0,则
可见体系的完整能谱都表现在复E—平面的的极点。研究物理体系的能谱,只需要研究的解析性质
五、传播子作为跃迁振幅
波函数是位置左矢与随时间变化态右矢的内积,也可被认为是海森堡绘景中反向时间演化的位置左矢与不含时状态右矢之乘积。类似地,传播子可写为
这里和是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。
因是从到态的跃迁振幅,故
是t0时处于的粒子在t时处于的几率振幅。或者说是由时空点到另一时空点的跃迁振幅。
另种解释
由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢,我们也可称为链接不同时间的两组基矢的变换函数。
因此,在海森堡绘景中,时间演化可看作改变基函数的幺正变化。
这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似。
六、传播子的组合性质
为使时空坐标记号更对称,记为
由于海森堡绘景中在任意给定时间的位置态矢形成完备基,可在任意位置插入单位算符
因而
该性质称为跃迁振幅(传播子)的组合性质。
类似地有:
若知无穷小时间间隔的形式,
则一般的可利用传播子的组合性质而得。
这种推理方式导致了费曼的量子力学理论形式。