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食饵具有常数投放率的食饵-捕食模型的定性分析.pdf


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²ï:§•35§•˜5§4•‚
QualitativeAnalysisofa
Prey-PredatorModelwith
aConstantInvestmentRate
ofPreySpecies
XueleiWang
CollegeofInformationScienceandEngineering,ShandongAgriculturalUniversity,Tai’an
Shandong
Received:,2022;accepted:May6th,2022;published:May17th,2022
©ÙÚ^:ÆZ.äk~êݘÇ-Ó.½5©Û[J].A^êÆ?Ð,2022,11(5):2500-2506.
DOI:.115264
ÆZ
Abstract
Inthispaper,thequalitativepropertiesofthepredator-preymodelwithconstant

pointsareobtainedbylinearizationmethod;andtheconclusionfornolimitcycle
isprovedbyDulacfunction;byconstructingboundarylines,theconditionforthe
,numericalsimulationisusedtoverifythe
correctnessoftheconclusion.
Keywords
EquilibriumPoint,Existence,Uniqueness,LimitCycle
Copyright
c2022byauthor(s)andHansPublishersInc.
ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense().
/
1.Úó
éuäk~êݘÇ-ÓXÚïÄ,@ÏóŠk[1,2],©z[1]•[?Ø
.
(2x
x˙=bx(1−k)−βxy+h,
y˙=−cy+dxy.
²ï:94•‚•35Ú5.¿é•˜„.
©|•3^‡.©z[2]éÓö
kݘÇXÚ?1
½5©Û.©z[3–5]©O?ØØÓ.eäk~êݘÇÛ5Ÿ.
Ù¥©z[3]•Ä«+äk~êݘDžk—Ý›‘holling-IV.ÓXÚ
(y
x˙=x(g(x)−β+x2)+h,
cx
y˙=y(−a−by+β+x2).
½51•.©z[6–8]?Øü«+©Ok~ݘÇÚ~¼Ç-ÓXÚ½55Ÿ.þã
óŠ§.mà¼êŒÑ´´²¡)Û½z{
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Šž,Ù•½5ØUd‚5CqXÚ•½5Ñ.I‡?˜Ú‰C†ä.
DOI:.1152642501A^êÆ?Ð
ÆZ
©•ÄäkõU‡A…äk~êݘÇ-Ó.
11
x˙=x(a−bx2)−ycx2+h,
(1)
1
y˙=y(−d+cex2).
Ù¥a,b,c,d,e,hÑ´Œu0~ê.
1ca
æC†2••B儧·‚Eæ^ÎÒ.Œz•
x¯=x,y¯=ay,τ=2t(x,y,t),(1)

x˙=x(1−bx)−y+h,
aax
(2)
y˙=ry¯(x−m¯),
Ù¥2ced
r¯=a,m¯=ce.
•~ëê§2-bbC†
§·‚E,^ÎÒL«.Œ±{z•
x˜=ax,y˜=ay,x,yx,˜y˜.(2)
XedXÚ

x˙=x(1−x)−y+I=P(x,y),
x
(3)
y˙=ry(x−m)=Q(x,y),
Ù¥bhar¯bm¯
I=a3,r=b,m=a.
+∗
•Ä¢S)¿Â,=3R2={(x,y)|x>0,y>0}S?Ø,¿PR2={(x,y)|x>0,y≥0}.
©©¤n‡Ü©µ1˜Ü©^‚5Cq•{?زï:9Ù5¶1Ü©^ƒ²¡©Û{
‰Ñ4•‚•35ÚØ•35^‡¶1nÜ©êŠ[,y(Ø(5.
2.²ï:9Ù5
)•§|

P(x,y)=0,
(4)
Q(x,y)=0,
dQ(x,y)=0,y=0½x==0“\P(x,y)=0,x2(x−1)=I,
x2(x−1)=I
•k˜‡Š•Kr“\IP•∗PX
,k,k>=mP(x,y)=0,y=m(1−m)+m,y.

Ú(3)²ï:•E1(k,0),E2(m,y).
23
l¥)ÑP•I0x−2x−IH1(x)d0
P(x,y)y,F(x):F(x)=x(1−x)+x,F(x)=(x)=
11••˜7:11©ÛŒ•
−6x(x−3),x=3H1(x).H1(3)=27−I,:
1žî‚üN4~
I>27,F(x).
1žüN4~1žkü‡7:P•Kk
I=27,F(x);0<I<27,F(x),m1,m2,0<m1<
13«mSî‚üN4~§3«mSî‚üN4O§3«m
3<m2.(0,m1),F(x)(m1,m2),F(x)
(m2+∞)S,F(x)üN4~.ÛÜ4ŠF(m1)>0,limx→0+F(x)=+∞,limx→+∞F(x)=−∞.

nþŒ•§0<m<kž,E2(m,y)´•˜²ï:.XÚ(3)JacobiÝ

DOI:.1152642502A^êÆ?Ð
ÆZ
I
1−2x−x2−1
J=.(5)
ryr(x−m)
½n1(i)m>kž,E1(k,0)´•½(:¶0<m<kž,E1(k,0)´Q:,m=kž,
E1(k,0)´Q(:.

(ii)0<m<kž,E2(m,y)´•˜²ï:.
œ/1ž∗´•½
:½(:
1I≥27,E2(m,y).
œ/31^‡e§e2K∗´•½
:½(:e
20<I<27m(1−2m)<I,E2(m,y).
2∗2∗
m(1−2m)=I,KE2(m,y)´¥%.em(1−2m)>I,KE2(m,y)´Ø•½
:½(:.
y²(i)k©Û²ï:E1(k,0)Û:•½5
2
•Äk(k−1)=I,E1(k,0)éAJacobiÝ
I
1−2k−k2−12−3k−1
JE(k,0)==
10r(k−m)0r(k−m)
m>kž,JacobiÝ
kü‡KAŠ,¤±E1(k,0)´•½(:¶0<m<kž,Jacobi
Ý
kü‡ÉÒAŠ,ÏdE1(k,0)´Q:.
m=kž,k˜‡KAŠ,k˜‡"AŠ,rXÚ(3)²ï:E1(k,0)²£‹I:?,

I2
x˙=(2−3k)x−y+(−1+k3)x+p3(x,y),
(6)
y˙=rxy,
Ù¥p3(x,y)´gêØ$ung)Û¼ê.æ^šòz‚5O†

x=ξ+η,
y=(2−3k)ξ,
2-dτ=−(3k−2)dt,ÒŒ±rXÚ(7)=z¤©z[9]½/ª

ξ˙=−rξ2−rξη=ψ(ξ,η),
3k−23k−2


1I212I(7)
η˙=η+3k−2(1−k3+r)ξ+3k−2(2−k3+r)ξη


1I2
+3k−2(1−k3+r)η+p3(ξ,η)=Φ(ξ,η),

l¥)Ñ-23'Óg‘Xê§11“\
Φ(ξ,η)η,η=b2ξ+b3ξ+···,b2=−3k−2(r+k),
)rd½nœ/•´Q(:
ψ(ξ,η),m=2,am=−3k−2<0,(iii),E1(k,0).

(ii)©Û²ï:E2(m,y)Û:•½5
DOI:.1152642503A^êÆ?Ð
ÆZ
5¿∗IÙéAÝ

y=m(1−m)+m,Jacobi
!!
1−2m−I−11−2m−I−1
J=m2=m2
E1(k,0)∗I
ry0r[m(1−m)+m]0
ÙAŠ•KI0I
λ1,λ2,λ1+λ2=1−2m−m2=F(m),λ1·λ2=r[m(1−m)+m]>0.
œ/d½nc¡©ÛŒ•§1ž§ðk0•kü‡K¢AŠ§½
11I≥27F(m)<0,
ü‡¢Üu"ÝEŠ§cö=´•½(:§
öÒ´•½
:.
œ/1…0ž=2žkü‡¢AŠ§½ü‡¢
20<I<27F(m)>0,m(1−2m)>I,
ÜŒu"ÝEŠ§cö=´Ø•½(:§
öÒ´Ø•½
:.
1…0ž=2žkü‡K¢AŠ§½ü‡¢Ü
0<I<27F(m)<0,m(1−2m)<I,
u"ÝEŠ§cö=´•½(:§
öÒ´•½
:1…0ž=
.0<I<27F(m)=0,
m2(1−2m)=Iž,ü‡¢Ü•"ÝEŠ,éAÛ:a.•¥%.
•‚•35
½n2(i)m>kž,XÚ(3)31˜••SÃ4•‚,E1(k,0)´•½…´Û•½.
3^‡e1žXÚ31˜••SÃ4•‚∗´•½
(ii)0<m<k,I≥27,(3),E2(m,y)
…´Û•½.
y²žXÚ31˜••Sòï:dy¤±l
(i)m>k,(3),dt|x=0=−rym<0,y
¶?Ñu;‚´•e,y¶´Ãƒ‚ã,…Ùþòï:.x¶´;‚§¤±31˜–•SÃ

ÛÉ4;Ú4;‚.
²¡þ;‚w4•8•U´²ï:!4;‚!ÛÉ4;‚.ÏdlR2

SÑu;‚w4•8•U´Û:.d½n1œ/(i)•,E1(k,0)´R2S•˜²ï:,…´•
½,¤±´Û•½.
E¼ê−1K∂(BP)∂(BQ)10…=31ž
(ii)DulacB(x,y)=y,D∂x+∂Y=yF(x)≤0,x=3,D=0,

dBendixson-DulacO{[10]•§31˜–•S§Ã4•‚.(ܽn1•,E2(m,y)´•½,
Ïd´Û•½.

kŒݘÇ,…Ó«+g,kÇu,˜‡êŠž,ü«+•Ï•½3E2(m,y)
NC,vk±Ï y–.
½n3^‡e1…2žXÚ31˜••S
30<m<k,0<I<27m(1−2m)>I,(3)
•3•½4•‚.

y²E2(m,y)´Ø•½
:½(:,ŒŠ‚•¸.‚.
e¡E‚•¸.‚.
α=maxm≤x≤k{F(x)},x=ε0,Ù¥ε0´¿©ê§'XŒ•§x¶,†
‚x=k,•‚L1:x˙=α−y,y˙=ry(x−m);‚§Ð©:•A(k,α),ª:•B(m,β)˜ã,Ù
¥β•;‚††‚x=m:p‹I¶•‚L2:y=β,PL2†x=ε0:•C(ε0,β).‚
•¸.‚=•OE1ABCO.
DOI:.1152642504A^êÆ?Ð
ÆZ
Ïdxdy¤±l?Ñu;‚´•me?\‚•
dt|x=ε0>0,dt|x=ε0=−ry(ε0−m)<0,x=ε0
¶¶´;‚Ïdxdyg†‚Ñu;‚´lm
x;dt|x=k=−y<0,dt|x=k=ry(k−m)>0,x=k,
e•?\«•;Ïx˙|(3)<x˙|L1<0,y˙|(3)=x˙|L1>0.lL1Ñu;‚´lme•?\†þ•
¶Ïy˙|L2<0,ÏdgL2Ñu;‚´gþ
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DOI:.1152642506A^êÆ?Ð

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