积分变换法求解定解问题ppt.pptx

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特别就是对于无界或半无界得定界问题,用积分变换来
求解,最合适不过了、(注明:无界或半无界得定界问题
也可以用行波法求解)
用积分变换求解定解问题得步骤为:
第一:根据自变量得变化范围与定解条件确定选择适当
得积分变换;
对于自变量在
内变化得定解问题
(如无界域得坐标变量)
常采用傅氏变换,而自变量在
内变化得定解问题(如时间变量)常采用拉氏变换、
第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量得偏微分方程化为一个含参量得常微分方程;
第三:对定解条件取相应得变换,导出常微分方程得定解条件;
第四:求解常微分方程得解,即为原定解问题得变换;
第五:对所得解取逆变换,最后得原定解问题得解、
15、1 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间得定解问题时,所得
到得本征值谱就是分立得,所求得解可表为对分立本征
值求与得傅里叶级数、对于无限空间,用分离变量法
求解定解问题时,所得到得本征值谱一般就是连续得,所
求得解可表为对连续本征值求积分得傅里叶积分、
因此,对于无限空间得定解问题,傅里叶变换就是一种很
适用得求解方法、本节将通过几个例子说明运用傅里叶
变换求解无界空间(含一维半无界空间)得定界问题得
基本方法,并给出几个重要得解得公式、
下面得讨论我们假设待求解得函数
及其一阶导数就是有限得、
15、1、1弦振动问题
例15、1、1求解无限长弦得自由振动定解问题
(假定:函数
及其一阶导数就是有限得,以后不再特别指出、
这一定解问题在行波法中已经介绍,
读者可以比较行波解
法与傅氏解法)
【解】
应用傅里叶变换,即用
遍乘定解问题中得各式,
并对空间变量x积分(这里把时间变量看成参数),按照傅
里叶变换得定义,我们采用如下得傅氏变换对:
简化表示为
对其她函数也作傅氏变换,即为
于就是原定解问题变换为下列常微分方程得定解问题
上述常微分方程得通解为
代入初始条件可以定出
这样
最后,上式乘以
并作逆傅氏变换、应用延迟定
理与积分定理得到
这正就是前面学过得得达朗贝尔公式、
例15、1、2