导数与函数的单调性.docx

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课时作业
1。(2021·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x〉0时,xf′(x)-f(x)<0,那么使得f(x)>0成立的x的取值范围是.
答案 (-∞,-1)∪(0,1)
解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,
所以f(1)=-f(-1)=0.
当x≠0时,令g(x)=,
那么g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.
那么当x>0时,g′(x)=[]′
=<0,
故g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.
所以在(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0
⇔>0⇔f(x)>0;在(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔<0⇔f(x)>0。
综上,知使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
(x)=x3+ax+4,那么“a〉0”是“f(x)在R上单调递增”的条件。
答案 充分不必要
解析 f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,
故“a>0"是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
3。在区间(-1,1)内不是增函数的函数是.
①y=ex+x;
②y=sinx;
③y=x3-6x2+9x+2;
④y=x2+x+1。
答案 ④
解析 ①y=ex+x,y′=ex+1〉0,在区间(-1,1)内是增函数;
②y=sinx,y′=cosx,在区间(-1,1)内是增函数;
③y=x3-6x2+9x+2,y′=3x2-12x+9=3(x-2)2-3,在区间(-1,1)内是增函数;
④y=x2+x+1,y′=2x+1,在区间(-,1)内y′〉0,在区间(-1,-)内y′〈0,在区间(-1,1)内不单调.
4。函数y=f(x)在定义域[-4,6]内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),那么不等式f′(x)≤0的解集为.
答案 [-,1]∪[,6]
解析 不等式f′(x)≤0的解集即函数y=f(x)的减区间,由题图知y=f(x)的减区间为[-,1],[,6],故f′(x)≤0的解集为[-,1]∪[,6]。
5。(2017·江苏扬州中学月考)假设函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,那么实数m的取值范围是.
答案 [,+∞)
解析 f′(x)=2mx+-2,由题意知,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即2m≥-+在(0,+∞)上恒成立,令t=〉0,那么2m≥-t2+2t,又∵(-t2+2t)max=1,
∴2m≥1,∴m≥.
(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,假设x1<x2,那么和的大小关系为.
答案
解析 设g(x)=,那么g′(x)==,由题意得g′(x)〉0,所以g(x)单调递增,当x1〈x2时,g(x1)〈g(x2),即,
所以。
7。(2016·苏州模拟)假设函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),那么b+c=。
答案 -12
解析 f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1<x〈3是不等式3x2+2bx+c<0的解集,
∴-1,3是f′(x)=0的两个根,
∴b=-3,c=-9,b+c=-12。
8.(2016·无锡模拟)定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如以下图,那么以下表达正确的选项是。
①f(b)>f(c)〉f(d)
②f(b)〉f(a)>f(e)
③f(c)>f(b)〉f(a)
④f(c)>f(e)〉f(d)
答案 ③
解析 依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,
因为a〈b〈c,所以f(c)>f(b)>f(a),因此③正确.
(x)=-x3+x2+2ax在[,+∞)上存在单调递增区间,那么a的取值范围是。
答案 (-,+∞)
解析 对f(x)求导,得f′(x)=-x2+x+2a
=-(x-)2++2a。
当x∈[,+∞)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a。
令+2a〉0,解得a〉-,
所以a的取值范围是(-,+∞).
10.(2016·全国甲卷改编)假设函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,那么a的取值范围是.
答案
解析 ∵函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,
∴f′(x)=1-cos2x+acosx
=1-(2cos2x-1)+acosx
=-cos2x+acosx+≥0,即acosx≥cos2x-在(-∞,+∞)恒成立。
当cosx=0时,恒有0≥-,得a∈R;
当0<cosx≤1时,得a≥cosx-,令t=cosx,f(t)=t-在(0,1]上为增函数,得a≥f(1)=-;
当-1≤cosx<0时,得a≤cosx-,令t=cosx,f(t)=t-在[-1,0)上为增函数,得a≤f(-1)=.综上,可得a的取值范围是。
11.(2016·江苏南京十三中月考)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)假设函数f(x)在区间(1,2)上是增函数,求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0),
∴f′(x)=3ax2+6x+3,
令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,那么Δ=36(1-a)。
①当a≥1时,Δ≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R上是增函数;
②当a<1且a≠0时,Δ〉0,
f′(x)=0有两个根,x1=,
x2=。
(ⅰ)当0〈a<1时,易知当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故函数f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数,在(x2,x1)上是减函数;
(ⅱ)当a〈0时,易知当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f′(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f′(x)〉0,
故函数f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减函数,
在(x1,x2)上是增函数.
(2)当a>0时,f′(x)=3ax2+6x+3〉0(x∈(1,2)),
故a>0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数,
当a〈0时,由f(x)在区间(1,2)上是增函数,
可得即
解得a≥-,所以-≤a〈0.
综上,a的取值范围是[-,0)∪(0,+∞)。
(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)对f(x)求导得f′(x)=--(x>0),
由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,知f′(1)=--a=-2,解得a=。
(2)由(1)知f(x)=+-lnx-,
那么f′(x)=(x〉0).
令f′(x)=0,解得x=-1或x=5。
因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时,f′(x)<0,
故f(x)在(0,5)内为减函数;
当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(5,+∞)内为增函数.
综上,f(x)的单调增区间为(5,+∞),单调减区间为(0,5).
13。函数f(x)=x3-x2。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)上存在单调递减区间,务实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)=x2-ax=x(x-a).
①当a=0时,f′(x)=x2≥0恒成立,
∴f(x)在R上单调递增.
②当a〉0时,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,a)时,f′(x)〈0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)〉0,
∴f(x)的增区间为(-∞,0),(a,+∞),减区间为(0,a)。
③当a<0时,当x∈(-∞,a)时,f′(x)〉0;
当x∈(a,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,
∴f(x)的增区间为(-∞,a),(0,+∞),减区间为(a,0).
(2)∵g(x)=x3-x2+2x,
∴g′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),
使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立,
即当x∈(-2,-1)时,a<(x+)max=-2即可。
所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2)。