空间向量在立体几何中的作用.docx

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Summary:在数学教学内容中,有一个数学知识点,叫空间向量知识,此知识内容具备数形结合特点,多将其运用在立体几何题目当中,可算作一个较为有力的工具。目前,高考数学中对空间向量几何图形应用题目考察力度在不断增加,此相关数学题目在高考中所占比重也较高。在新课改制度下,空间向量知识已经成为理科学生所必需学****的内容,这也体现空间向量知识的作用性。基于此,本文对空间向量法在立体几何中的作用以及应用进行以下分析,从而为高中空间向量立体几何有效教学奠定理论基础。
Keys:空间向量;立体几何;作用
前言:
关于空间向量方法在立体几何中的运用,是在一系列的理论知识推理当中转换成一种代数运算形式,构建“图形—数理—图形”的新方法,并在数理推算以及几何证明过程当中,可建立空间直角坐标系,再把几何图形当中相关的点以坐标轴的形式表现,相关的线段用空间向量进行表示。其中,立体几何空
间向量构建形式是与平面向量相同,只不过是将平面向量在立体几何当中体现出来,学生更能够直观地在题目中进行有效应用。
一、空间向量法在立体几何中的重要作用
空间向量方法,是一种数学应用方法,可将其运用在几何图形当中,从中解答相关题目。向量这一概念,体现在近代数学教学中,与数学中几何知识、数理知识以及三角知识都有所融合,而且空间向量可以当作一种数学工具,能够处理几何知识问题。关于空间向量法在立体几何中的重要作用:立体几何中应用空间向量方法,能够对几何问题进行处理,并在某种层面上提供了新的视角;立体几何当中引入空间向量方法,为解决三维空间中的图形位置关系与度量问题提供了有利条件;空间向量方法一般都是以立体几何图形为载体的,并能够落实在几何应用当中,从而有利于判定空间几何图形之间的位置关系,也有利于度量几何空间角度。
空间向量法应用在立体几何图形当中,能够促使学生更加清晰的分析图形问题,有利于学生快速解决一些数学问题,从而提高学生做题效率。另外,空间向量法与几何图形相联系,属于两种知识点的融合,这在一定程度上有利于学生数学转换思维能力提升,促使学生能够深入掌握数学学****方法,从而也能够提高学生综合数学应用能力。另外,从数学角度分析,空间向量法在立体几何中的作用,更能够推动数学学科进步以及有效发展。总而言之,空间向量方法在立体几何当中体现,具有一定的教育价值意义。
空间向量法在立体几何当中的应用例题分析
应用例题一:空间向量方法将抽象问题具体化
在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点。
图2-1
求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB;
解:直ABC—A1B1C1三棱柱底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,BC,CC两两垂直。
如图1-1,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC分别为X轴、Y轴、Z轴,建立空间直角坐标系C=xyz,
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(3/2,2,0)
因为向量AC=(﹣3,0,0),向量BC1=(0,﹣4,4),所以向量AC乘向量BC1=0,所以AC⊥BC1
设CB1与C1B的交点为E,则E(0,2,2)。因为向量DE=(﹣3/2,0,2),向量AC1=(﹣3,0,4),所以向量DE=1/2向量AC1。因为DE属于平面CDB1,AC1不属于平面CDB1,AC1AC1∥平面CDB。
应用例题二:空间向量方法将复杂问题简单化
如图2-2,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD⊥AC,∠ABC=60。,PS=AB=BC,E是PC的中点。
图2-2
(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE;(3)求二面角A—PD—C的大小。
采用综合推理的论证方法:
(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD属于面ABCD,所以PA⊥CD,因为AC⊥CD,PA与AC相较于A,所以CD⊥平面PAC,而AE属于平面PAC,所以CD⊥AE。
(2)证明:由PA=AB=BC,∠ABC=60。,可得AC=PA,因为E是PC的中点,所以AE⊥PC,由(1)可知,AE⊥CD,且PC与CD相交于点C,所以AE⊥平面PCD,而PD属于平面PCD,所以AE⊥PD,因为PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,AB⊥AD,所以AB⊥PD,又因为AE交AB与点A,所以PD⊥平面ABE。
(3)过点A作AM⊥PD,垂足为M,连接EM,由(2)可知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则EM⊥PD,因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角。
结论:
综上所述,通过应用例题一以及应用例题二,充分体现了空间向量方法对于例题几何问题的有效解决,而且空间向量方法是运用代数方法来解决几何图形问题,并且需要一定数据计算,这在立体几何图形当中有着重要作用。另外,关于空间向量法在立体几何中的重要作用得出:空间向量方法能够对几何问题进行处理,并在某种层面上提供了新的视角,为解决三维空间中的图形位置关系与度量问题提供了有利条件,从而有利于判定空间几何图形之间的位置关系,也有利于度量几何空间角度。同时,对于学生而言,空间向量方法在几何图形中的应用,有利于提升学生数学综合能力。
Reference:
[1]——"用空间向量解决立体几何中的存在性问题"教学设计[J].中小学数学,2019,000(009):24-27.
[2][J].数学大世界(小学五六年级版),2019,000(005):75-84.
 
-全文完-