高中数学函数零点解决方法探究.docx

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Summary:在高中阶段,函数零点问题为考纲中的核心内容,而且这也是近几年高中新课标中的新增内容,零点属于函数最为关键且基础的性质。函数零点所体现的是函数方程的思维,借助函数零点来处理相关的函数问题或者方程问题是近些年以及未来高中考试命题的重点,而在解决函数零点问题时往往需要用到等价转化、数形结合和函数及方程等数学思想方法。为此,本篇文章就对近年间数学高考试题中所涉及到的零点问题进行深入分析,同时针对问题的处理方式进行了归纳与总结,希望借此能够辅助学生更好的解决此类问题。
Keys:方法探究;高中数学;处理措施;函数零点
引言:在高中阶段的课程标准之中,将函数零点添加到了数学必修一的第三章即函数应用一节中,并在近些年成为了高考的重点内容。对于函数而言,它是中学尤其是高中数学中的一个核心概念,而其成为核心的一个主要原因就是函数和其它的知识之间存在有极为紧密的联系,而函数零点则是其中较为重
要的一个连接点,通过函数零点可以由不同角度,把数和形以及方程与函数进行完美结合。
一、函数零点具有的意义
对于高中一年级的学生来说,当他们对函数概念和性质有了一个系统性的掌握与理解,并学****了基本的初等函数知识以后,便要对方程根和函数零点间存在的关系进行探究,同时还要借助函数图形与性质来对方程根是否存在、方程根的实际个数等进行判断,进而掌握和理解判断函数于某一个区间内是否有零点存在的方法,并给后续学****通过二分法求解方程近似解”以及有关算法打下良好的基础。由此看来,方程根和函数零点这一部分的教学内容有着承前启后的重要作用,它对于高中尤其是高中一年级学生未来更深层次的学****有着极为关键的意义。
二、函数零点的阐述

对于一个函数y=f(x),(Á∈D)来说,有一个实数x能够让f(x)=0成立,而这一个实数Á就是y=f(x),(Á∈D)这一个函数的零点。而函数零点存在的意义就是该函数零点即方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)图像和Á轴之间交点横坐标。三者之间的关系即方程f(x)=0存在有实数根⇔y=f(x)这一函数的图像和Á轴之间存在交点⇔y=f(x)函数具有零点。

f(x)这一函数存在实数根⇔y=f(x)这一函数图像和Á轴之间存在交点⇔y=f(x)函数具有零点。
(零点存在性的定理)
倘若f(x)=0这一个函数于区间[a,b]中的图像为不间断且顺滑的曲线,同时还存在f(a)·f(b)<0,则此时y=f(x)函数在(a,b)区间内有零点,也就是有c∈(a,b),从而使f(c)=0,此时c即f(x)=0函数的根。
三、函数零点求法
求解y=f(x)函数的零点:
①通过代数法的方式求解方程f(x)=0存在的实数根;
②通过几何法的方式来求解无法借助求根公式进行处理的方程,能够把此类方程和y=
f(x)这一函数的图像进行联系,同时应用函数性质来找到函数的零点。
四、具体的案例分析和研究
类型一:对函数零点所在的区间进行判定
以2012年的山东卷例题进行分析和研究:已知某一函数f(x)=-logx2。在下述各个区间内,存在f(x)的零点的区间为()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,﹢¥)
解析:通过分析题目可知,f(x)函数在区间(0,﹢¥)内是减函数,由于f(1)=6>0,f(2)=3>0,而f(4)=-<0,借助函数零点的存在性定理可得函数f(x)与(2,4)区间中一定存在有零点,因此此题应选c选项。
规律方法的总结和归纳:当判断函数在某一个区间内是否有零点存在时,一定要按照具体的题目来做灵活分析和处理。如果可以直接对函数零点求解,那么便可直接进行对应的判定,而如果无法直接求解出函数的零点,则需要按照零点的存在性定理来进行判断。倘若零点的存在性定理仍旧无法求解出函数零点那么便需要通过画图像的方式来进行判定。
类型二:对不存在函数参数的函数零点数量进行求解
以2015年的天津卷为例进行分析,已知两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=,g(x)=3-f(2-x),那么y=f(x)-g(x)函数的零点数量是()。

试题解析:根据已知条件能够得到函数g(x)=3-f(2-x)=
此时函数y=f(x)-g(x)零点的个数就是函数y=f(x)以及函数y=g(x)的图像交点,而与平面直角坐标系中做出上述两个函数的图像(即下图),通过图像可以看出函数y=f(x)以及函数y=g(x)存在两个交点,因此y=f(x)-g(x)这一函数的零点数量是2,因此该题答案为A选项。
图1.
规律方法总结:这类题目通常所求的都是y=f(x)-g(x)函数的零点数量,也就是y=f(x)以及y=g(x)两个函数的图像交点,因此画出两个函数的图像并通过图像观察两者之间存在的交点个数便可得出原函数的零点数量。
类型三:按照函数零点存在的实际情况,对参数以及参数取值范围等进行求解
案例分析:存在一个函数f(x),其在x>a时的表达式为x+2,而当x≤a时的表达式则为x2+5x+2,并且函数g(x)=f(x)-2x这一函数存在三个零点,每个零点的数值均不相同,那么实数a取值的区间为()
[-1,1]B.[0,2]C.[-2,2]D.[-1,2]
试题解析:方法①,做出y=x+2和y=x2+5x+5两个函数于同一个坐标系之中的对应的图像(详情见下图),想要让函数g(x)=f(x)-2x恰巧存在3个数值不同的零点,也就是需要保证f(x)和y=2x存在有三个数值不相同的交点,通过观察可以发现,想要满足上述条件就需要y=x+2和y=2x在C点相交,而y=x2+5x+5和y=2x于A、B两点相交,因此让x2+5x+5=2x,此时解得x的数值是-1以及-2,使2x=x+2,可得x=2,所以a的取值范围应当是-1≤a<2。
图2.
方法②,根据题目已知条件能够得到以下结论,即x≤a,x+2=2x存在一个根,而x≤a,x2+5x+5存在两个根。让g(x)=x2+3x+2,所以a<2并且由∆>0,g(-3/2)>0,-3/2<a,g(a)>0,可以求出a的取值范围是-1≤a<2。
方法规律总结:对于已知存在零点的函数,求解其参数值时使用最为普遍的方法与思路主要有两种,首先是直接法,通过计算直接对方程进行求解进而算出方程根,然后借助求解不等式来对参数的范围进行确定;其次是分离参数法,在应用这种方法时最为主要的一步就是要分离参数,然后将方程转换成为求解函数值域等问题进行处理;最后是数形结合的方式,即先变形解析式,然后在一个平面的直角坐标系内画出对应的函数图像,进而进行观察与求解。
结束语:
总而言之,本篇文章以高考真题为例,对函数零点问题的解决方法进行了全面阐述。函数零点问题对于高中阶段尤其是高中一年级的学生来说,既是难点也是重点,而我们通过上述题型和解法规律的分析,可以总结出以下几点有关于函数零点问题的处理方法:在判断一个函数是否在某一区间存在有零点时,需要按照实际的问题和情况做灵活处理,倘若可以直接得到零点,那么直接求解并进行判定即可,而如果无法直接得到零点,同样也能够借助零点的存在性定理来进行判定,假如使用零点的存在性定理不能对函数零点进行判断,则可通过画出函数图像的方式进行判断。随着新课程改革不断地深入,函数零点问题也将趋于多样化,为此,相关教师一定要重视培养学生有关的分析思路,掌握此类问题的要点,并学会使用多种方法进行求解,最终让学生整体的做题水平得到有效提升。
Reference:
[1][J].中学数学,2020(17):39-40+42.
[2][J].新课程导学,2020(22):73-74.
[3][J].考试周刊,2020(37):65-66.
[4][J].高考,2020(04):149.
 
-全文完-