谈高中数学解题方法-以圆的标准方程为例.docx

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Summary:圆的定义和性质的学****是高中几何数学学****的基础,也是进一步研究空间问题的前提,圆的方程属于解析几何中的基础,所以,掌握圆的标准方程,会判断二元二次方程表示圆的条件及用一般式求圆的方程,了解二元二次方程,圆的标准式方程,圆的一般式方程三者之间的关系,在高中几何数学学****中至关重要。
Keys:高中数学;解题方法;圆的标准方程
圆与直线结合考察的形式有很多种,最常见的问题就是判断圆与直线的位置,解决这类问题的方法最主要的就是代数法和几何法。若已知直线方程和圆的方程,可以使用代数法,将直线方程代入圆的方程,消去y得关于x的一元二次方程,当△<0时,直线与圆相离;当△=0时,直线与圆相切;当△>0时,直线与圆相交。若可以计算出直
线到圆心的距离,可使用几何法,求出圆心到直线的距离d,若半径为r:d>r,则直线与圆相离;d=r,则直线与圆相切;d
例1:求满足经过点P(4,4),圆心为点C(2,2)的圆的标准方程,并且判断该圆与直线y=2x+1的关系?
图1
分析:通过已知条件,求圆的方程,可以先圆心连接圆上的点,求出该圆的半径,根据以C(a,b)为圆心,为半径长的圆的标准方程式为:(x-a)²+(y-b)²=r²这个格式,把半径和圆点带进式子就是圆的标准方程式。已知直线的方程为:y=2x+1,可使用几何法,求出圆心到直线的距离d,然后比较d与r的大小,求出圆与直线的关系。
解析:该圆经过点P(4,4),圆心为点C(2,2),圆心连接圆上的点则为圆的半径长r。
∵圆的半径长r=ICPI=2
由题可知:圆心为点C(2,2)
∴圆的标准方程是(x-2)²+(y-2)²=4
图2
由题可知:直线y=2x+1,圆的圆心为点C(2,2)
可求得圆心到直线的距离d=3√5/5<2
∴直线y=2x+1与圆(x-2)²+(y-2)²=4相交。
确定圆方程的方法多种多样,主要方法就是待定系数法,如果选择标准式,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a、b)和半径r。另外,在求圆的标准方程时,利用圆的几何性质可以使得计算更加简洁、明了,一般圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在圆的任意一条弦的中垂线上;两个圆内切或者外切时,切点与两个圆的圆心在一条直线上。圆的一般方程式适用于,圆心位置不确定时,主要采用待定系数法,设圆的方程为:x²+y²+Dx+Ey+F=0,圆的一般方程式包含三个独立的参数,因此,必须具备三个及三个以上独立的条件才能确定圆的一般方程,解方程组。
例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程。
分析:已知该圆的圆心在直线2x-y-3=0上,且该圆过点(5,2)和(3,-2),可通过设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,把圆心(a,b),带入直线,把点(5,2)和(3,-2)带入圆的方程,可求得该圆的方程式。或者,连接点(5,2)和(3,-2),得到一条直线,做该直线的垂直平分线,交直线2x-y-3=0于一点,即为圆心的坐标,然后求得该垂直平分线的方程式,通过两点间的距离公式可求得该圆的半径长r,已知该圆的半径长r以及圆心的坐标,即可求得该圆的方程。
解析:
∵点(5,2)和(3,-2)在圆上
∴连接点(5,2)和(3,-2)得到一条直线,做该直线的垂直平分线,交直线2x-y-3=0于一点,即为圆心的坐标(2,1)
通过计算可求得该垂直平分线的方程为x+2y-4=0
通过两点间的距离公式可求得该圆的半径长为√10
∴所求圆的方程为(x-2)²+(y-1)²=10
综上所述,计算圆的标准方程有多种方式,最常见的两种方式是:⑴求得圆的半径和圆心,带入圆的方程公式:(x-a)²+(y-b)²=r²,求得圆的标准方程。⑵已知圆上的两个点或者三个点的坐标,可设圆的一般方程,最后通过转化,
变成圆的标准方程式。因此,求圆的方程时,首先应依题意恰当地选择所求圆的方程的形式,然后充分利用几何性质解题。注意,在做几何题时,可以更多的使用画图法,把文字描述转化成图的形式,以更加直观的形式呈现已知条件。在求圆的标准方程式时,最常见的呈现方式就是与直线相结合,所以要很好的掌握一元一次方程和二元一次方程的求解方法,为几何计算打好基础。
Reference:
[1][J].数理化解题研究,2020(25):44-45.
[2]“尝试、猜测、推想”的思想方法[J].中学课程辅导(教师通讯),2020(15):39-40.
[3][J].中学生数理化(自主招生),2020(02):9.
 
-全文完-