初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析).doc

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初二二次根式所有知识点总结和常考题
知识点:
1、二次根式:形如的式子。①二次根式必须满足:含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。②非负性
2、最简二次根式:满足:①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤:
(1)如果被开方数含分母,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数含能开得尽方的因数或因式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式
(1)(2)
(3)乘法公式
(4)除法公式
4、二次根式的加减法则:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的。
常考题:
(共14小题)
( )
A. B. C. D.
( )
≥﹣且x≠1 ≠1 C. D.
( )
A. B. C. D.
( )

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:﹣﹣= .
,,,则这个三角形的周长为 cm.
,那么a= .
,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是 .(结果保留根号)
,化简= .
:= .
、b为有理数,m、n分别表示的整数部分和小数部分,且amn+bn2=1,则2a+b= .

(共13小题)
,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:(一)
==(二)
===﹣1(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
====﹣1(四)
(1)请用不同的方法化简.
(2)参照(三)式得= ;
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‚参照(四)式得= .
(3)化简:+++…+.
:(﹣1)(+1)﹣(﹣)﹣2+|1﹣|﹣(π﹣2)0+.
,再求值:,其中.
,再求值:,其中x=1+,y=1﹣.
,再求值:,其中.
=,求的值.
“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.
甲的解答:+=+=+﹣a=﹣a=;
乙的解答:+=+=+a﹣=a=.
请你判断谁的答案是错误的,为什么?
、、
(1)求它的周长(要求结果化简);
(2)请你给一个适当的x值,使它的周长为整数,并求出此时三角形周长的值.
《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,:…①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积).
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:
s=…②(其中p=.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积s;
(2)你能否由公式①推导出公式②?请试试.
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:,,求代数式x2﹣xy+y2值.
:
(1);
(2)(a>0,b>0).
,然后再解答:
形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使a+b=m,ab=n,使得+=m,=,那么便有:
==±(a>b).
例如:化简.
解:首先把化为,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12
即+=7,×=
∴===2+.
由上述例题的方法化简:.
:
小明在学****二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+=(1+):
设a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a= ,b= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空: + =( + )2;
(3)若a+4=,且a、m、n均为正整数,求a的值?

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参考答案与试题解析

(共14小题)
1.(2005•岳阳)下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式;C选项的被开方数中含有分母;因此这三个选项都不是最简二次根式.
【解答】解:因为:B、=4;
C、=;
D、=2;
.
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意:
(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于2,也不是最简二次根式.

2.(2013•娄底)式子有意义的x的取值范围是( )
≥﹣且x≠1 ≠1 C. D.
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.
【解答】解:根据题意得,2x+1≥0且x﹣1≠0,
解得x≥﹣且x≠1.
故选A.
【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

3.(2007•荆州)下列计算错误的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断.
【解答】解:A、==7,正确;
B、==2,正确;
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C、+=3+5=8,正确;
D、,.
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式.
二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数,根指数与被开方数不变.

4.(2008•芜湖)估计的运算结果应在( )

【分析】先进行二次根式的运算,然后再进行估算.
【解答】解:∵=4+,而4<<5,
∴原式运算的结果在8到9之间;
故选C.
【点评】本题考查了无理数的近似值问题,现实生活中经常需要估算,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.

5.(2011•烟台)如果=1﹣2a,则( )
< ≤ > ≥
【分析】由已知得1﹣2a≥0,从而得出a的取值范围即可.
【解答】解:∵,
∴1﹣2a≥0,
解得a≤.
故选:B.
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值,是基础知识要熟练掌握.

6.(2009•荆门)若=(x+y)2,则x﹣y的值为( )
A.﹣1
【分析】先根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可求出x、y的值,再代入代数式即可.
【解答】解:∵=(x+y)2有意义,
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0,
∴x=1,y=﹣1,
∴x﹣y=1﹣(﹣1)=2.
故选:C.
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【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质:
概念:式子(a≥0)叫二次根式;
性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.

7.(2012秋•麻城市校级期末)是整数,则正整数n的最小值是( )

【分析】本题可将24拆成4×6,先把化简为2,所以只要乘以6得出62即可得出整数,由此可得出n的值.
【解答】解:∵==2,
∴当n=6时,=6,
∴原式=2=12,
∴n的最小值为6.
故选:C.
【点评】,若能则为答案.

8.(2013•佛山)化简的结果是( )
A. B. C. D.
【分析】分子、分母同时乘以(+1)即可.
【解答】解:原式===2+.
故选:D.
【点评】本题考查了分母有理化,正确选择两个二次根式,使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.

9.(2013•台湾)k、m、n为三整数,若=k,=15,=6,则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确?( )
<m=n =n<k <n<k <k<n
【分析】根据二次根式的化简公式得到k,m及n的值,即可作出判断.
【解答】解:=3,=15,=6,
可得:k=3,m=2,n=5,
则m<k<n.
故选:D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键.

10.(2011•菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为( )
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B.﹣7 ﹣15
【分析】先从实数a在数轴上的位置,得出a的取值范围,然后求出(a﹣4)和(a﹣11)的取值范围,再开方化简.
【解答】解:从实数a在数轴上的位置可得,
5<a<10,
所以a﹣4>0,
a﹣11<0,
则,
=a﹣4+11﹣a,
=7.
故选A.
【点评】本题主要考查了二次根式的化简,正确理解二次根式的算术平方根等概念.

11.(2013秋•五莲县期末)把根号外的因式移入根号内得( )
A. B. C. D.
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答.
【解答】解:∵成立,
∴﹣>0,即m<0,
原式=﹣=﹣.
故选:D.
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键.
二次根式成立的条件:被开方数大于等于0,含分母的分母不为0.

12.(2009•绵阳)已知是正整数,则实数n的最大值为( )

【分析】如果实数n取最大值,那么12﹣n有最小值;又知是正整数,而最小的正整数是1,则等于1,从而得出结果.
【解答】解:当等于最小的正整数1时,n取最大值,则n=.
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时,n取最大值.

13.(2005•辽宁)若式子有意义,则点P(a,b)在( )

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