浅谈函数表达式与函数图象关系的理解及应用.docx

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Summary:在初中数学教学、考试中经常会遇到根据函数表达式中待定系数的取值范围确定函数图象所在象限位置,或根据函数图象所在象限位置确定函数表达式中待定系数的取值范围。这就需要教师引导学生学****理解、掌握函数表达式中待定系数的取值范围与函数图象所在象限位置之间的关系,培养学生数形结合、分类讨论的思想和观察、操作、猜想、推理、类比、归纳的能力。
Keys:函数表达式函数图象数形结合分类讨论
为了让学生能高效解决有关函数表达式中待定系数的取值范围与函数图象所在象限位置之间的关系问题,可以从以下两个方面对学生进行引导、训练。
、理解、掌握函数表达式中待定系数的取值范围与函数图象所在象限位置之间的关系。
。
引导学生通过列表、描点、连线,在平面直角坐标系中画出正比例函数的图象,发现:
正比例函数的图象是一条经过坐标原点的一条直线。
当时,y的值随着x值的增大而增大,函数图象从左到右呈“上坡”趋势,函数图象经过第一、三象限;简记为:大一、三。
(2)当时,y的值随着x值的增大而减小,函数图象从左到右呈“下坡”趋势,函数图象经过第二、四象限。简记为:小二、四。
。
引导学生在平面直角坐标系中画出一次函数的图象,发现:
一次函数的图象是一条直线,b的值对应函数的图象与y轴交点处的纵坐标。
(1)当时,y的值随着x值的增大而增大,函数图象从左到右呈“上坡”趋势:①当b0时,函数图象经过第一、二、三象限;简记为:大大一、二、三。②当b0时,函数图象经过第一、三、四象限;简记为:大小一、四、三。
(3)当时,y的值随着x值的增大而减小,函数图象从左到右呈“下坡”趋势:①当b0时,函数图象经过第一、二、四象限;简记为:小大二、一、四。②当b0时,函数图象经过第二、三、四象限。简记为:小小二、三、四。
。
引导学生在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象,发现:
反比例函数的图象是由两支曲线组成的。
(1)当时,y的值随着x值的增大而减小,函数图象从左到右呈“下坡”趋势,两支曲线分别位于第一、三象限内;简记为:大一、三。
(2)当时,y的值随着x值的增大而增大,函数图象从左到右呈“上坡”趋势,两支曲线分别位于第二、四象限内。简记为:小二、四。
。
引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数的图象,发现:
二次函数的图象是一条抛物线。其对称轴是直线,顶点坐标是。c的值对应函数的图象与y轴交点处的纵坐标。
当时,函数图象开口向上;
当时,函数图象开口向下。
的绝对值越大,开口越小。
的绝对值越小,开口越大。
引导学生运用函数表达式中待定系数的取值范围与函数图象所在象限位置之间的关系解决有关问题。
(一)根据函数表达式中待定系数的取值范围确定函数图象所在象限位置。
,表示一次函数的图象是()
分析:(1)根据题目的已知条件,任意取一个小于零的的值如-2,同时任意取一个大于零的的值如3,根据一次函数表达式,在平面直角坐标系中画出其图象,根据图象可知:一次函数的图象经过第一、二、四象限。所以一次函数的图象经过第一、二、四象限。
(2)根据题目的已知条件,,以及一次函数图象的性质可知:一次函数的图象经过第一、二、四象限。
(3)根据题目的已知条件及上述“简记”小大二、一、四可知:一次函数的图象经过第一、二、四象限。
因此,本题正确答案选B。
上述三种分析方法中方法一花费时间最多,方法三直接利用之前总结出来的“简记”口诀,花费时间最少。但是方法三只适用于解答选择题,因为“简记”口诀是我个人经验总结,不具备通用性,不能直接写在解题步骤中。所以引导学生根据题型、自己的“口味”合理选择既正确又节约时间的解决问题方法。
,表示一次函数与正比例函数
(mn≠0)图象的是()
分析:因为mn≠0,所以有2种情况:
mn>0。若mn>0,则说明m、n同号,即m>0且n>0或m<0
且n<0。根据正比例函数、一次函数图象的性质或“简记”口诀:大一、三,大大一、二、三,小小二、三、四。说明此时正比例函数(mn≠0)图象过第一、三象限,一次函数图象过第一、二、三或第二、三、四象限。因此当mn>0时,没有符合题意的选项。
mn<0。若mn<0,则说明m、n异号,即m>0且n<0
或m<0且n>0。根据正比例函数、一次函数图象的性质或“简记”口诀:小二、四,大小一、四、三,小大二、一、四。说明此时正比例函数(mn≠0)图象过第二、四象限,一次函数图象过第一、三、四或第一、二、四象限。因此,本题正确答案选A。
( )
分析:由已知条件得:
。根据一次函数、反比例函数图象的性质或“简记”口诀:大大一、二、三,大一、三。说明当时,一次函数图象过第一、二、三象限,反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,此时题目中没有符合条件的选项。
。根据一次函数、反比例函数图象的性质或“简记”口诀:小小二、三、四,小二、四。说明当时,一次函数图象过第二、三、四象限,反比例函数图象的两支曲线分别位于第二、四象限内。因此,本题正确答案选C。
()
分析:
(1)假设且。那么根据一次函数图象的性质或“简记”口诀:大大一、二、三,函数的图象经过第一、二、三象限。又假如且,那么函数的开口向上,且对称轴,即对称轴应该在轴的左侧,此时题目中没有符合条件的选项。
(2)假设且。那么根据一次函数图象的性质或“简记”口诀:大小一、四、三,函数的图象经过第一、三、四象限。又假如且,那么函数的开口向上,且对称轴,即对称轴应该在轴的右侧。此时题目中符合条件的选项是C。
(3)假设,那么函数的开口向下,此时可以排除A、B、C三个选项,D选项中函数图象与轴的交点在轴的负半轴,说明。又D选项中函数的对称轴在轴的右侧,说明,又因为,所以,这与前面判定的矛盾,说明此时D选项不符合条件。
综上所述,本题正确答案是C。
(二)根据函数图象所在象限位置确定函数表达式中待定系数的取值范围。
,则的取值范围是()
A.,B.,
C.,D.,
分析:由图5可知一次函数的图象经过第一、二、四象限,根据一次函数图象的性质或“简记”口诀小大二、一、四,有,,即,。所以本题正确答案是D选项。
,则k、b的取值范围是( )
>0,b><0,b>0
<0,b<>0,b<0
分析:由图6可知一次函数的图象经过第二、三、四象限,反比例函数图象的两支曲线分别位于第二、四象限内,根据一次函数图象的性质或“简记”口诀小小二、三、四,小二、四,有,,,所以本题正确答案是C。
Reference
[1]马复,史炳星,章飞,[M],北京:北京师范大学出版社,
[2]马复,史炳星,章飞,[M],北京:北京师范大学出版社,
[3]马复,史炳星,章飞,綦春霞,[M],北京:北京师范大学出版社,
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