3.4基本不等式 教案.doc

基本不等式:
教学目标:理解基本不等式的意义、证明和几何意义,能够运用基本不等式解决一些应用问题。
教学重点、难点:两个不等式的证明和区别,正确运用基本不等式;理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵,注意运用不等式求最大(小)值的条件.
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的;比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,有什么结论?
我们把“风车”,b那么正方形的边长为,面积为a2+b2, 4个的直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积,于是有不等式:a2+b2≥2ab
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点时,有a2+b2=2ab;
一般的,如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立。
特别地,如果a>0,b>0,用分别代替a,b,得 a+b≥2
通常上式写成≤(),当且仅当时取等号,称为基本不等式。
证明:作差法或分析法。
要证: ①
即证②
要证②,只要证③[来源:]
要证③,只要证( - ) ④
显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立
探究:(课本P98)如图所示:AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。
发现:表示圆的半经,表示半弦长CD,得到不等关系:≤(),几何意义:半弦长不大于半径长。
说明:1)我们称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2)a 2+b 2≥2ab和≥成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数.
3)“当且仅当”的含义:当时,等号成立,其含义是:如果那么
仅当时,等号成立,其含义是:如果那么
综合起来:其含义是:等价于
4)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项
代数意义:几何平均数小于等于算术平均数
例1 已知ab>0,求证:,并推导出式中等号成立的条件。
例2 (1)已知x<0,求函数的最大值。()
(2)求函数的最大值,及此时x的值。
练****1)已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.(当x=6,y=4时,最小值为48).
(2) 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值.(最小值为8)
(3) 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值.()
例3 (1)已知a,b,c均为,求证:。
证明:均为正数,,, ;
(2)设为正数,证明不等式:
证法(1)由知故:
证法(2)由知
证法(3)(几何解析数形结合)是圆的直径,,过作交圆上半圆于点,过点作交于点,在中,由射影定理知
即:,由于得,当且仅当时,等号成立,结论:
例4 (1)若,求的最大值;(2)若,求的最大值;(3) 若
定理:已知x,y都是正数,则
①如果积
②如果和
例5 (1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?
分析:(1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:(1)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则篱笆的长为2()m
由,可得, 2()
等号当且仅当,因此,这个矩形的长、宽为10 m时,所用篱笆最短,最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2()=36,=18,矩形菜园的面积为,
由可得,可得等号当且仅当
因此,这个矩形的长、宽都为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为81
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价为多少元?
分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时,水池的总造价最低。
由容积为4800 m3可得3xy=4800, 因此xy=1500, 由基本不等式与不等式性质,可得
240000+720(x+y)≥ 240000+720×2
即:z≥240000+720×2 =297600,可得等号当且仅当
所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元[
题型一:利用均值不等式求最值(值