等差数列与等比数列增分强化练(十一).docx

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考点一
等差、等比数列的基本运算
{a}的前n项和为S,且S=4a
1
,则公比q=()
n
n2
1
1




a2
剖析:由题意,依照等比数列的性质,可得S2=a1+a2=4a1,∴a2=3a1,∴q=a1
3,应选D.
答案:D
2.(2019·甘肃质检)在等差数列{an}中,已知a1与a11的等差中项是15,a1+a2
+a3=,则
9=
(
)
9
a




a+a=2a+10d=30
a=0
1
11
1
1
剖析:由题得
,解得
,则a9=8d=24,故
a1+a2+a3=3a1+3d=9
d=3
选A.
答案:A
3.(2019·三明质检)在等比数列{an}中,a2=2,a5=42,则a8=________.
剖析:设等比数列{an}的公比为q,因为a2=2,a5=42,因此q3=a5=22,a2
因此a8=a5q3=16.
答案:16
{a}的前n项和为S,若S=3S,a=2,则
n
n
4
2
3
a7=________.
剖析:设等比数列{an
1
4
2
}的首项为a
,公比为q,显然q≠1且q>0,因为S=3S,
a11-q4
3a11-q2
2
4
2
=8.
因此
=
3
7
3
1-q
,解得q=2,因为a
=2,因此a
=aq=2×2
1-q
答案:8
考点二等差、等比数列的判断与证明
1
1.(2019·蚌埠模拟)已知数列{an}中,a1=-1,且an-an-1=nn-1)(n≥2,n∈
N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
1
(2)求证:数列an为等差数列.
剖析:(1)由an-
1
=
1
1
n-1=
-,
a
n-1
n
nn-1
因此当
1
3-a2=
1
1
1
1
n≥
2时,a
2
a
2
3
a
n-1
n
n
1
1
相加得,a
-a=1-n,
又1=-1,因此an=-1(n≥2,n∈N*),
a
n
1=-1也吻合,
而a
1
*),
因此数列{an}的通项公式为an=-n(n∈N
(2)证明:由(1)知
1=-n,则
1=-1,1
=-(n+1),
a
a
n
1
a
+1
n
1
1
因此-
=-(n+1)+n=-1(常数),
an+1
an
1
因此数列an是首项为-1,公差为-1的等差数列.
2.(2019·桂林、崇左模拟)已知数列{an}中,满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
剖析:(1)证明:∵an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又因为a1+1=2,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知an+1=2n,
∴an=2n-1,
∴Sn=(21-1)+(22-1)++(2n-1)
(21+22++2n)-n
2×1-2n
=-n
1-2
2n+1-n-2.
故Sn=2n+1-n-2.
考点三
等差、等比数列的性质
n
中,若
a
2,9是方程
x
2-x-6=0的两根,则
1.(2019·宜春模拟)在等比数列{a}
a
a·a的值为(
)
5
6

B.-6
C.-1

剖析:因为a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,
因此依照根与系数的关系可知
a2·a9=-6,
因为数列{an}是等比数列,
因此a·a=a·a=-6,应选B.
5
6
2
9
答案:B
{an}中,a1+a5+a7+a9+a13=100,a6-a2=12,则a1=(
)




剖析:在等差数列{an中,由
1
5
7
9
13
7=
,即
1
}
a+a
+a+a
+a=100
得5a
100
a+6d
20,又4d=12,得d=3,a1=2,应选B.
答案:B
3.(2019·晋城模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6
=()




剖析:因为S2,4
-2,6-4
成等比数列,即
,
6-
15
成等比数列,因此
S
SSS
3,12S
122
S6-15=4,解得S6=.
答案:A
4.(2019长·春质检)设Sn是各项均不为0的等差数列{an}的前n项和,且S13=13S7,
则a7等于()a4




剖析:因为Sn是各项均不为
0
的等差数列
n
的前
n
项和,且
13=
7
,因此
{a}
S
13S
13a1+a13
=13×
7a1+a7
7
4
a7
2
2
,即a=7a
,因此
=.
a
4
答案:C