人教版九年级下册数学《锐角三角函数》教案与同步练习(含答案).docx

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概念
,斜边大于直角边且各边均为正数,正弦、余弦都是直
角边与斜边的比值,正切是两直角边的比值, 因此正弦值、余弦值都是小于1的
正数,正切值是大于零的数,并且都没有单位,即0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0
(∠A为锐角).
, 如sinA不能理解为sin·A,sinA
中的“A”是用一个大写字母表示的角,sinA(或sinα)只表示一个角A(或α)
的正弦(角的符号可以省略);若用三个大写字母表示的角,在表示它的三角函
数时,角的符号不能省略,如“∠ AOB的正弦”应写成“sin∠AOB”而不能写成
“sinAOB” , 更 要 避 免 出 现 “sin10°+sin40°=sin50°” 、
“tan10°+tan40°=tan50°”等错误.
,∠A的三角函数也是固定不变的,它与∠ A
的两边长短(即三角形的边长)无关.
,一般将指数写在三角函数符号与角之间,如sinα的平方“(sinα)2”一般写成“sin2α”.
,右边是一个分式,所以它具有等式、分式的性
质,即已知式子中的两个量时,可以求出第三个量,如 sinA a,它的两个变式
c
为:①
ac·
sin
A;②
c
a
.
=
sinA
关系
学****锐角三角函数时,应注意以下两种关系:
:如图,
Rt△ABC中,
A∠B
°,由三角函数定义得
a
o
a
,
∠+=90
sinA
,cos(90A)cosB
b
c
c
o
,所以
A
(°
A),
A
sin
cosA
sinBsin(90A)
sin=cos
90-
cos=
c
(90°-A).即任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值,任意锐角的正弦值等
于它的余角的余弦值.
2
.同一锐角三角函数的关系:如图,在
Rt△
ABC中,∠
C
°,
a
=90sinA
,
c
b,则sin2Acos2A
2
2
a2
2
c21,
cosA
a
b
b
c
c
c
c2
c2
即同一锐角的正弦、余弦的平方和等于
1,或者说若α为锐
角,则sin2α+cos2α=1.
规律
学****锐角三角函数时,应明确三角函数值的两个变化规律:
:
观察上表可知:
(1)正弦、余弦值可表示为

x

的形式,正切值可表示为

x

的形式;
2

3
(2)顺口溜:一、二、三;三、二、一;、2、3;3、2、1;3、9、27,分别是30°,45°,60°的角的正弦、余弦、正切值
、有趣、易记.
:锐角α的正弦sinα值随着∠α的增大而增大;锐角α的余弦cosα值随着∠α的增大而减小;锐角α的正切tanα值随着∠α的增大而增大.


(1)Rt△ABC中,∠C=900
若
AB
=,
=,则
.
,
5AC
4sinB=
2)Rt△ABC中,∠C=900,sinA=4,cosA=5
(3)1
sin60
2
cos45
.
2
2
(4)∠B为锐角,且2cosB-1=0,则∠B=
.
(5)等腰三角形中,腰长为
5,底边长8,则底角的正切值是
.
(6)如图,沿倾斜角为30的山坡植树,要求相邻两棵树的水平距离
AC为2cm,
那么相邻两棵树的斜坡距离
AB约为
m。()
7)如图,以直角坐标系的原点O为圆心,以1为半径作圆,若P是该圆上第一象限内的点,且OP与x轴正方向组成的角为α,则点P的坐标是__________.
8)两条宽度为1的纸条,交叉重叠在一起,且它们的夹角为α,则它们重叠部分的面积为__________.

(1)在Rt△ABC中,∠C=900,下列式子中正确的是(
).
=sinB
=cosB
=tanB
=cosB
(2)在Rt△ABC中,∠C=900,已知a和A,则下列关系式中正确的(
)
=asinA·
a
=acosA·
a
=
=
sinA
cosA
(3)在△ABC中,若cosA=2,tanB=3,则这个三角形一定是(
)
2




(4)等腰三角形底边长为
10㎝,周长为36cm,那么底角的余弦等于
(
)

B.
12

D.
13 13 13
5
12
(5)如图,菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,∠ABD=a,
则下列结论正确的是
(
)
4

3
4
3



=
5
5
3
4
6)钓鱼竿AC长6m,露在水面上的鱼线BC长32m,某钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC转动到AC的位置,此时露在水面上的鱼线
BC为33,则鱼竿转过的角度是
(
)


C.
150

(7)若太阳光线与地面成 а角,300<а<450,一棵树的影子长为
10米,则树高h的范围是(取 3 )( )
<h<5 <h<10 <h<15 >15
(8)如图,△ABC中,D为AC边上一点,DE⊥BC于E,
若AD=2DC,AB=4DE,则sinB的值为( )
1 7 37 3
C. 7
△ABC中,∠C=900,,AB=13,BC=5,求sinA,cosA,tanA,
,在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,若BD:AD=1:3,
B
求tan∠BCD。

D
C A
,
边长都是 、锐角都是50o,则大门的宽大约是多少米?(结果保留两个有
效数字)
(参考数据:sin25o ,cos25o )
,在ABC中,∠C=900,∠B=300,请你设计一种方案,不用计算器就可以求出tan150的值(提示:延长CB到D,使BD=AB)
A
C B
参考答案
1.(1)4(2)3(3) 6(4)600(5)4(6)(7)(cosα,sinα)(8)12.
5 5 8 3 sin
1)B(2)B(3)A(4)A(5)D(6)B(7)D(8)=5,cosA=13
12,tanA=∠BCD=
-3
13
12
3