初二数学上册北师大版知识点总结.pdf

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第一章勾股定理如:(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)……思维入门指导:梯子顶端A下落的距离为AE,即
1、勾股定理4、常见题型应用:求AE的长。已知AB和BC,根据勾股定理可求AC,只
(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的(1)已知任意两条边的长度,求第三边/斜边上要求出EC即可。
平方,即a2b2c2的高线/周长/面积……解:在Rt△ACB中,AC2=AB2-BC2=-=4,
(2)勾股定理的验证:测量、数格子、拼图法、面积(2)已知任意一条的边长以及另外两条边长之∴AC=2
法,如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……(通间的关系,求各边的长度//斜边上的高线/周长/面∵BD=,∴CD=2
过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积……∴EC=
积法)(3)判定三角形形状:a2+b2>c2锐角~,a2答:。
(3)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形+b2=c2直角~,a2+b2<c2钝角~点拨:要考虑梯子的长度不变。
2、勾股定理的逆定理判定直角三角形a..找最长边;,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,
如果三角形的三边长a,b,c有关系a2b2c2,那平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系;=39m,BC=36m,求这块地的面积。
么这个三角形是直角三角形。确定形状思维入门指导:求面积时一般要把不规则图形分
3、勾股数:满足a2b2c2的三个正整数a,b,(4)构建直角三角形解题割成规则图形,若连结BD,似乎不
c,称为勾股数。:4,斜边为得要领,连结AC,求出SS即可。
ABCACD
常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,,13)10。求直角三角形的两直角边。解:连结AC,在Rt△ADC中,
(9,12,15)(7,24,25)(9,40,41)……解:设两直角边为3x,4x,由题意知:在△ABC中,AB2=1521
规律:(1),短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是∴x=2,则3x=6,4x=8,故两直角边为6,8。答:这块地的面积是216平方米。
两个连续的自然数,两边之和是短直角边的平方。即当中考突破点拨:此题综合地应用了勾股定理和直角三角
a为奇数且a<b时,如果b+c=a2那么a,b,c就是一组(1)中考典题形判定条件。
(3,4,5)(5,12,,13)(7,24,25)(1)所示,,顶端第二章实数
(9,40,41)……A靠在墙AC上,
(2)大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组米,梯子滑动后停在DE位置上,如图(2)所示,。无理数的定义无限不循环小数。
一、实数的概念及分类与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。特别地,0的算术平方根是0。
1、实数的分类2、绝对值表示方法:记作“a”,读作根号a。
正有理数在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算
有理数零有限小数和该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可术平方根是零。
无限循环小数看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即
实数负有理数a≤0。x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
正无理数3、倒数表示方法:正数a的平方根记做“a”,读作“正、
无理数无限不循环小如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。负根号a”。
数倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零
负无理数4、数轴的平方根是零;负数没有平方根。
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,(画数轴时,要注意上规定的三要述素缺一不可)。注意a的双重非负性:被开方数与结果均为非负
归纳起来有四类:解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数。即a≥0,
(1)开方开不尽的数,如7,32等;数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。3、立方根
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含5、估算一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那
有π的数,如π/3+8等;利用非负数解题的常见类型么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
(3)有一定规律,5|y3|0,求x22y的值。表示方法:记作3a
(4)某些三角函数值,如sin60o等解:性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一
二、实数的倒数、相反数和绝对值x50,|y3|0,且x5|y3|0个负的立方根;零的立方根是零。
1、相反数点拨:利用算术平方根,绝对值非负性解题。注意:3a3a,这说明三次根号内的负号可以
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两三、平方根、算数平方根和立方根移到根号外面。
个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于四、实数大小的比较
互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果aa,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正
数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的aa第三章形的平图移与旋转
(a0,b0)
(bb)
总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。一、平移
a
2、实数大小比较的几种常用方法3、运算结果若含有“”形式,必须满足:1、定义:在平面内,将一个形整图体沿某方向移动一
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;定的距离,这样的形运图动称为平移。
数总比左边的数大。(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式2、要素(或条件):方向,即前后对应点的射线方向;
(2)求差比较:设a、b是实数,六、实数的运算距离,即对应点之间的距离
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方3、性质:平移前后两个形的形图状和大小不变(即全
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则(2)实数的运算顺序等形)图,对应点连线平行(或在同一条直线上)且相
abab
。先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有等,对应线段平行(或在同一条直线上)且相等,对应
(5)平方法:设a、b是两负实数,则括号,就先算括号里面的。角相等。
a2b2ab。(3)运算律4、平移作图:
(6)倒数法:设a、b是同正,如果1/a>1/b,则a<加法交换律abba线段的平移作法:
b;同负,如果1/a>1/b,则a>b加法结合律(ab)ca(bc)作法1:将线段两端点分别平移,然后将两个平移
五、算术平方根有关计算(二次根式)abba后的点连成线段,即为原线段平移后的线段;
乘法交换律
作法2:将线段一端点平移,然后过平移后的点
(ab)ca(bc)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非乘法结合律
作原线段的平行线,在该平行线适当方向截取长度为
负数。乘法对加法的分配律a(bc)abac
指定线段长度,则所得线段为所求.
2、性质::
二、旋转
(1)(a)2a(a0)通过以上计算,观察规律,写出用n(n为正整数)
1、定义:在平面内,将一个形图绕某一定点沿某个方
表示上面规律的等式___________。
a2aa(a0)
(2)向转动一个角度,这样的形运图动称为旋转,这个定点
解:
(3)aba•b(a0,b0)称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
22222
211;321;431;541
(a•bab(a0,b0))2、要素(或条件):旋转中心(定点)、旋转方向(顺
n1nn1n1
aa规律:时针/逆时针)、旋转角度(0~3600)
(a0,b0)
(4)bb
3、性质:旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四
转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的(n-2)×180°;边形
角等于旋转角。多边形的外角和定理:任意多边形的外角和(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四
4、旋转作图:等于360°。边形
(1)作图步骤:观察基本图案(确定关键点)——确6、设多边形的边数为n,从n边形的一个顶点出发(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边
定旋转的三要素——找到对应点——连接对应点——能引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形。形
作答n(n3)(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行
多边形的对角线共有2条。
(2)旋转作图的方法:1、把各关键点依次与旋转中心四边形
二、平行四边形
连接4、两条平行线之间的距离(平行线间的距离处处相
1、平行四边形的定义
2、按要求向顺时针/逆时针旋等)
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
转相应角度两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直
2、平行四边形的性质
3、截取对应线段线的距离,叫做这两条平行线的距离。
(1)平行四边形的对边平行且相等。
4、连接对应点5、平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高
(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等
5、作答=ah
(3)平行四边形的对角线互相平分。
三、简单的图案设计:三、菱形
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角
第四章四边形性质探索1、菱形的定义
线的交点。
一、四边形的相关概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交
1、四边形:在同一平面内,由不在同一直线上的2、菱形的性质
点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角
四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。(1)菱形的四条边相等,对边平行
线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
2、四边形具有不稳定性(2)菱形的相邻的角互补,对角相等
(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、四边形的内角和定理及外角和定理(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角
3、平行四边形的判定
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。线平分一组对角
(1)定:义两组对边分别平行的四边形是平行四边
四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称
形
中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离五、正方形(3~10分)AB=5cm
相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。1、正方形的定义过点A作BC的垂线,垂足为E,则∠BAE=30°
3、菱形的判定有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边另一种解法:如图所示,连结AC、BD,相交于点
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形形叫做正方形。O。
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形2、正方形的性质∴△ABC是等边三角形,∴AC=5
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形(1)正方形四条边都相等,对边平行点拨:菱形的两种求面积的方法都比较常用,注意
4、菱形的面积(2)正方形的四个角都是直角根据题中所给的条件灵活选择。有时要与一些特殊角,
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,比如30°、60°角的特殊性质联系起来。
四、矩形每一条对角线平分一组对角六、梯形
1、矩形的定义(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称(一)1、梯形的相关概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。中心是对角线的交点;对称轴有四条,是对角线所在的一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做
2、矩形的性质直线和对边中点连线所在的直线。梯形。
(1)矩形的对边平行且相等3、正方形的判定梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫
(2)矩形的四个角相等,都是直角判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径做上底,较长的底叫做下底。
(3)矩形的对角线相等且互相平分有两种:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称先证它是矩形,再证它是菱形。梯形的两底的距离叫做梯形的高。
中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距先证它是菱形,再证它是矩形。2、梯形的判定
离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。4、正方形的面积(1)定义法:一组对边平行而另一组对边不平行的
3、矩形的判定设正方形边长为a,对角线长为b四边形是梯形。
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形b2(2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
a2
S正方形=2
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形(二)直角梯形的定义:一腰垂直于底的梯形叫做
,相邻两内角的比为1:2,
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形直角梯形。
求菱形的面积?
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab一般地,梯形的分类如下:
解:如图所示,菱形ABCD,由于周长为20cm,∴
一般梯形(四)梯形的面积在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋
梯形直角梯形(1)如图,转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称
1
特殊梯形S(CDAB)•DE图形,这个点叫做它的对称中心。
梯形ABCD2
等腰梯形(2)梯形中有关图形2、性质
(三)等腰梯形的面积:(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
1、等腰梯形的定义SS(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过
①ABDBAC;
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。SS对称中心,并且被对称中心平分。
②AODBOC;
2、等腰梯形的性质(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或
SS
③ADCBCD
(1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。在同一直线上)且相等。
七、有关中点四边形问题的知识点:
(2)等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的3、判定
(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是
两个角互补,不同底的两个角互补。如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并
平行四边形;
(3)等腰梯形的对角线相等。且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形;
(4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,,作出△ABC绕O点旋转180°后的图形。
(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形;
即两底的垂直平分线。解:作法:
(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱
3、等腰梯形的判定(1)连结AO并延长在延长线上截取A’O=AO
形;
(1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形(2)连结BO并延长在延长线上截取B’O=BO
(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四
(2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰(3)连结CO并延长在延长线上截取C’O=CO
边形是菱形;
梯形(4)顺次连结A’B’,B’C’,C’A’。
(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填△A’B’C’即为所求。
所得的四边形是矩形;
空题可直接用)、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯九
(7)顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四
形、直角梯形的关系:
边中点所得的四边形是正方形;
,梯形ABCD,AC=BD,这个梯形是等腰梯
八、中心对称图形
形吗?说明理由。
1、定义
解:是等腰梯形,理由如下:
把AC平移到DE的位置,则四边形ACED是平行四
边形
∵DE=BD,∠1=∠2
∴∠2=∠3,∴∠1=∠3
在△DBC和△ACB中,DB=AC,∠1=∠3,BC=CB
∴△DBC≌△ACB(SAS)
∴DC=AB
∴梯形ABCD是等腰梯形。
,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,将矩形
沿AC折叠,点D落在点D’处,则重叠部分△AEC的
面积为多少?
解:∵CD’=CD=AB,∠CED’=∠AEB,∠D’=∠B=90°
点拨:设未知数列方程有时是解决几何问题的重
要方法。