北师大版高中数学必修1知识点总结.pdf

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第一章集合与函数概念
【】集合的含义与表示
(1)集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
(2)常用数集及其记法
N表示自然数集,N或N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,

R表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是aM,或者aM,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集().
【】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等
名称记号意义性质示意图
(1)AA
AB
A中的任一元(2)A
子集(或A(B)
素都属于BBA
BA)(3)若AB且BC,则或
AC
高中数学
(4)若AB且BA,则
AB
(1)A(A为非空子
AB
AB,且B
真子集)
(或B
中至少有一BA
集(2)若AB且BC,则

A)元素不属于A
AC

A中的任一元
集合素都属于B,(1)AB
ABA(B)
相等B中的任一元(2)BA

素都属于A
(7)已知集合A有n(n1)个元素,则它有2n个子集,它有2n1个真子集,它有
2n1个非空子集,它有2n2非空真子集.
【】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
名记
意义性质示意图
称号
(1)AAA
(2)A
交AB{x|xA,且
(3)ABAAB
集xB}
ABB
⑷⊆BΑ⟺A∩B=A
(1)AAA
并AB{x|xA,或
(2)AA
AB
集xB}
(3)ABA
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ABB
⑷A⊆B⟺A∪B=B
⑴(∁uA)∩A=∅,
⑵(∁uA)∪A=U,
补∁uA{x|xU,且xA}
⑶∁u(∁uA)=A,
集
⑷∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB),
⑸∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
⑼集合的运算律:
交换律:ABBA;ABBA.
结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)
分配律:A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)
0-1律:A,AA,UAA,UAU
等幂律:AAA,AAA.
求补律:A∩∁uA=∅A∪CuA=U∁uU=∅∁u∅=U
反演律:∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)
第二章函数
§1函数的概念及其表示
一、映射
:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的元
素,在集合B中都有元素和它对应,这样的对应叫做到
的映射,记作.
:如果f:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素a对应的
叫做象,叫做原象。
二、函数
:设A、B是,f:A→B是从A到B的一个映射,则映射f:A→B叫
做A到B的,记作.
、、,两个函数当且仅当分别相同
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时,二者才能称为同一函数。
、、。
§2函数的定义域和值域
一、定义域:
.
:
①已知函数的解析式,就是.
②复合函数f[g(x)]的有关定义域,就要保证内函数g(x)的域是外函
数f(x)的域.
③实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域:
=f(x)中,与自变量x的值的集合.
,就是优先考虑,取决于,常
用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥
数形法;⑦判别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为法和
法)
12x12
例如:①形如y=,可采用法;②y=(x),可采用
2x23x23
法或法;③y=a[f(x)]2+bf(x)+c,可采用法;④y=x-
1x,可采用法;⑤y=x-1x2,可采用法;⑥y=
sinx可采用法等.
2cosx
§3函数的单调性
一、单调性
:如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量
的值x、x,当x<x时,①都有,则称f(x)在这个区间上是增函数,
1、21、2
而这个区间称函数的一个;②都有,则称f(x)在这
个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个.
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若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为.
:
(1)定义法,其步骤为:①;②;③.
(2)导数法,若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导,①
若,则f(x)在这个区间上是增函数;②若,则f(x)
在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)函数;
(x)为增(减)函数,则-f(x)为;
;
=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调相同,
则f[g(x)]为,若f(x),g(x)的单调性相反,则f[g(x)]为.
,偶函数在其对称区间上的单调
性.
§4函数的奇偶性
:
①定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有,则称f(x)
为奇函数;若,则称f(x)(x)不具有上述
性质,则f(x),则f
(x).
②简单性质:
1)图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对
称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.
2)函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.
:
①已知条件中如果出现f(xa)f(x)、或f(xa)f(x)m(a、m均为
非零常数,a0),都可以得出f(x)的周期为;
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②yf(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或yf(x)的图象关于直线
xa,xb轴对称,均可以得到f(x)周期
第三章指数函数和对数函数
§1正整数指数函数
§2指数扩充及其运算性质

函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N)叫作________指数函数;形如y=kax(k∈R,
+
a>0,且a≠1)的函数称为________函数.

(1)分数指数幂的定义:给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),
mm
bbnambab
存在唯一的正实数,使得=,我们把叫作的n次幂,记作=an;
mn
(2)正分数指数幂写成根式形式:an=am(a>0);
m

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:an=__________________(a>0,m、
n∈N,且n>1);
+
(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.

(1)aman=________(a>0);
(2)(am)n=________(a>0);
(3)(ab)n=________(a>0,b>0).
§3指数函数(一)

一般地,________________叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域
是____.
=ax(a>0,且a≠1)的图像和性质
a>10<a<1
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图像
定义域R
值域(0,+∞)
过定点过点______,即x=____时,y=____
性函数值当x>0时,______;当x>0时,________;
质的变化当x<0时,________当x<0时,________
单调性是R上的________是R上的________
§4对数(二)

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,则:
(1)log(MN)=________________;
a
M
(2)log=________;
aN
(3)logMn=__________(n∈R).
a

logN
logN=a(a,b>0,a,b≠1,N>0);
blogb
a
特别地:logb·loga=____(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).
ab
§5对数函数(一)
:一般地,我们把______________________________叫
做对数函数,其中x是自变量,
对数函数;y=________为自然对数函数.

定义y=logx(a>0,且a≠1)
a
底数a>10<a<1
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图像
定义域______
值域______
单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
共点性图像过点______,即log1=0
a
x∈(0,1)时,x∈(0,1)时,
函数值y∈______;y∈______;
特点x∈[1,+∞)时,x∈[1,+∞)时,
y∈∈______.
函数y=logx与y=logx的图像关于______对称
对称性a1
a

对数函数y=logx(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函
a
数.
第四章函数应用
§1函数与方程

=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的
图像与x轴的交点的横坐标.
(x)=0有实数根
⇔函数y=f(x)的图像与x轴有________
⇔函数y=f(x)有________.

如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的
函数值符号相反,即f(a)·f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)
至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.


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每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小
,可用二分法来
_________________________________________________________________.
(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[a,b],使____________.
(2)求区间(a,b)的中点,x=__________.
1
(3)计算f(x).
1
①若f(x)=0,则________________;
1
②若f(a)·f(x)<0,则令b=x(此时零点x∈(a,x));
1101
③若f(x)·f(b)<0,则令a=x(此时零点x∈(x,b)).
1101
(4)继续实施上述步骤,直到区间[a,b],函数的零点总位于区间[a,b]
nnnn
上,当a和b按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就
nn
是函数y=f(x)的近似零点,=f(x)的近似零点满足
给定的精确度.
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