机械振动基础要点.doc

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机械振动基础重点
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机械振动基础重点
第4章机械振动基础
4-1图示两个弹簧的刚性系数分别为k1=5kN/m,k2=3kN/m。物块重量m=4kg。求物体自由振动的周期。
解:依据单自由度系统自由振动的固有频率公式n

k
m
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解出周期T

2π
n
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图(a)为两弹簧串通,其等效刚度
k1k2
keq
k1k2
k1k2
所以n
m(k1k2)
π
m(k
k
)
2
2π
1
2
T
k1k2
n
代入数据得
T
2π4(5000
3000)

5000
3000
图(b)为两弹簧串通(状况同
a)
所以T=
图(c)为两弹簧并联。
等效刚度keq=k1+k2
所以
n
k1
k2
m
T
2π
π
m
2
k1
k2
n
代入数据得
T=
图(d)为两弹簧并联(状况实质上同(
c))。
所以T=
4-3
以下列图,质量
m=200kg的重物在吊索上以等速度
v=5m/s降落。当降落时,因为
吊索嵌入滑轮的夹子内,吊索的上端忽然被夹住,吊索的刚度系数
k=400kN/m。如不计吊
索的重量,求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解:依题意,吊索夹住后,重物作单自由度自由振动,设振幅为
A,刚夹住时,吊索处于平
衡地址,以均衡地址为零势能点,当重物达到最低点时其速度
v=0。
依据机械能守恒,系统在均衡地址的动能与最低点的势能相等。即
Tmax=Vmax
此中
Tmax
mv2
,
Vmax
1kA2
2
2
A
mv
k
吊索中的最大张力Fmax
mgkA
mgvmk
代入数据得
Fmax

5
200400103

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机械振动基础重点
4-5
质量为m的小车在斜面上自高度
h处滑下,而与缓冲器相碰,以下列图。缓冲弹簧的
刚性系数为k,斜面倾角为
。求小车碰到缓冲器后自由振动的周期与振幅。
解:取小车为研究对象,假设斜面圆滑,选静均衡地址为原点,沿斜面向下为
x轴的正向。
当弹簧压缩量为
x
时,小车受恢复力
Fk(x
0)作用,而
0为弹簧的静压缩量,明显
mgsin
(受力解析以下列图)
0
k
mx
mgsin
k(x
0)
小车自由振动微分方程
即
x
kx
0
(1)
m
令
2
k
n
m
周期T
2π2πm
n
k
设微分方程(1)的解为
x
Acos(kt
)
m
当t=0时
x0
0,x0
2gh
2
2mgh
mg(mgsin
2
解得振幅A
2h)
0
k
k
k
4-7
质量为m的杆水平川放在两个半径同样的轮上,两轮的中心在同一水平线上,距离为
2a。两轮以等值而反向的角速度各绕此中心轴转动,以下列图。杆
AB借助与轮接触点的摩
擦力的牵带而运动,此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比,摩擦因数为
f。如将杆的质心C推
离其对称地址点
O,而后开释。(1)证明质心C的运动为谐振动,并求周期T;(2)若a=250
mm,T=2s时,求摩擦因数
f。
解:取AB杆为研究对象,其受力以下列图。以
AB杆质心在静均衡地址(即对称地址
O)为坐标轴的原点
O。
1)杆作水平方向(
x轴方向)平动,所以
yC
0,
0。依据平面运动微分方程有
F1
F2
mx
(1)
F1
F2
mg
0
(2)
F2(ax)F1(ax)0
(3)
式中F1
fF1,F2
fF2
由式(2)、(3)解得
F
a
xmg
及F
2
a
xmg
1
2a
2a
fmgx
把F1及F2代入式(1)得
mx
a
即
x
fgx
0
a
令
2
fg
n
a
则上式可写为
x
n
2x
0
所以,证了然杆
AB质心C作谐振动,其周期为
T
2π2πa
nfg
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a
4π2a
2)由T2π
fg得f
T2g
把有关数据代入算得滑动摩擦系数

f
22


4-9
均质杆AB=l,质量m,其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动,
0为静均衡
地址。不计销子质量和摩擦,如水平槽内两弹簧刚度皆为
k,求系统微幅振动的固有频率。
又问,弹簧刚度为多大,振动才可能发生。
解:x
lsin
vC
l
2
T
1m(l
)2
11ml2
2
ml22
2
2
2
12
6
V
lcos
mg
2k(lsin
)2(以y=0
地址的重力势能为
0)
2
2
d(
T)
ml2
dt
3
V
2kl2sin
cos
l
mgsin
代入d(T)
V
2
0
dt
即
ml2
(2kl2cos
l
mg)sin
0
3
2
(6kcos
3g)sin
0
m
2l
微振动时,
1,cos
1,sin
,则
(6k
3g)
0
m
2l
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n

6k3g
m2l
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振动能发生的条件为
6k
3g
即k
mg
m
2l
0
4l
4-11
以下列图,已知均质杆AB长2l,质量为2m,在中点O与杆CD相铰接,杆CD的角
速度为
,质量不计,CD=2h,盘簧刚性系数为
k,当0
0时,盘簧无变形。求:(1)
当
0时杆AB微振动的固有频率;(2)当
=常数时,
与0的关系;(3)当=
常数时,C、D处的拘束反力;(4)在
=常数时,杆AB微振动的频率。
解:1)以AB杆为研究对象。如
0
,则AB杆绕O轴转动微分方程为JOk
因为
JO
2m(2l)2
2ml2
12
3k
3
将上述方程改写为
0
2ml
2
故
n
3k
(1)
2ml2
2)以AB杆为研究对象,如
=常数时,因为
AB杆的惯性力矩为
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MI
2
lm
r
2
sin
rcos
ml2
2
0l
dr
0
0
3
sin2
0
由动静法知AB杆的均衡条件为
MIk0
故
3k
0
ml2sin2
0
3)以整个系统为研究对象,如图(
a),由动静法知系统的均衡方程为
Fx
0,FCx
FRD
0
Fy
0,FCy
2mg
0
MO
0,MI
FRD
FCxh
0
解得FRD
MI
k
0
(与原设反向)
2h
2h
FCx
k
0
(与原设反向)
2h
FCy2mg
4)设杆AB偏离动均衡地址细小角度
,如图(b)所示。杆AB在图示地址时的运动微分
方程为JO
MI
k(
0)
(2)
此中MI可参照第2)部分推导方法获取
M
ml2
2
)
ml2
2
(sin2
0cos2
cos2
0sin2
)
I
3
sin2(
0
3
因
角细小,sin2
2
,cos
1
于是得
M
ml2
2
2
cos2
0]
I
3
(sin2
0
把上式代入式(2)中,
2ml2
ml2
2
2cos2
0)
k(
0)
3
3
(sin2
0
再把式(1)代入,2ml
2
ml
2
3k
0
(sin20
2
cos2
0)
k
k0
2sin20
3
3
ml
即
2ml2
k
(1
2
0cot2
0)
3
故
3k(12
0cot2
0)
0
2ml
2
3k2(120cot20)2ml
4-13大皮带轮半径为R,质量为m,辗转半径为,由刚性系数为k的弹性绳与半径为r
的小轮连在一起。设小轮受外力作用作受迫摇动,摇动的规律为0sint,且无论小轮
如何运动都不会使弹性绳松驰或打滑。求大轮稳态振动的振幅。
解:如图(a),设弹簧本来处于静均衡,当小轮转角,大轮转角时,上面弹性绳缩短Rr,
F1k(Rr)(图b)
下面弹性绳伸长Rr,
F2k(Rr)(图b)
微分方程m22R(Rr)k
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即m22kR2
2kR2
m2

2Rrk0sint
2Rrk0sint
2
m
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2kR2
R2k
n
2
(1)
m
m
2Rrk0
hm2
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2Rrk
0
2kR2
r
稳态振幅:
m
h
m2
m2
R
22
2kR
2
2kR
2
2
n
m2
m2
r
0
r0
即
m
R
(2)

0
2
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1(
)2
R[1
(
)2]
n
n
4-15如图半径为r的半圆柱体,在水平面上只转动不滑动,已知该柱体对经过质心
C且平
行于半圆柱母线的轴的辗转半径为
,又OC=a。求半圆柱体作细小摇动的频率。
解:设半圆柱微摇动规律为
sin(ω
),其最大角速度为
max
Φ
n
,因半圆柱纯
Φ
nt
滚,点A为半圆柱的速度瞬心(图
a),故半圆柱最大动能为
Tmax
1JA
max
2
2
mAC2)Φ2
1(m2
n
2
2
1[m
2
m(r2
a2
2racos
)]Φ2
n
2
2
因在
max时,弦呈水平,
0,故
Tmax
1m[
2
(r
a)2]Φ2
2
n
2
以半圆柱静均衡地址为其零势能地址,则半圆柱的最大势能为
Vmax
mga(1
cosΦ)
2mgasin2Φ
2
ΦΦ
Vmax
1mgaΦ2
因Φ很细小,sin
,则
2
2
2
由机械能守恒Tmax=Vmax
得
n
2
ag
a)2
(r
故摇动频率
f
n
1
2
ag
2
2π
2π
(r
a)
4-17用下法测定流体的阻尼系数:在弹簧上悬一薄板
A,以下列图。测定它在空气中的自
由振动周期
T1,而后将薄板放在欲测阻尼系数的液体中,令其振动,测定周期
T2。液体与
薄板间的阻力等于
2scv,此中2s
是薄板的表面积,
v为其速度,而
c为阻尼系数。如薄板
质量为m,试依据实验测得的数据
T1与T2,求阻尼数c。薄板与空气间的阻力略去不计。
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解:以薄板为研究对象,取薄板
A上一点的静均衡地址为坐标轴
Ox的原点,如图(a)所
示。由此,列出质点运动微分方程
mx
kx
2scx
即
x
2scx
kx0
m
m
令
n
sc
m
sc
n
sc
m
则阻尼比
2π
T1
n
m
T1
2π
Tn
T1
2
由公式Td
知,当Tn=T1,Td=T2时
1
2
T2
1
2
将
sc
T1代入上式解得
c
2πm
T2
2
T12
2πm
sT1T2
4-19
车厢载有货物,其车架弹簧的静压缩为
st=50mm,每根铁轨的长度
l=12m,每当车
轮行驶到轨道接头处都遇到冲击,
因此当车厢速度达到某一数值时,
将发生激烈颠簸,这一
速度称为临界速度。求此临界速度。
解:车厢作受迫振动,搅乱力是轨道接头对车轮的冲击力,而
车厢固有频率
n
g
st
冲击力圆频率
2π
l
当
n时发生共振,车厢激烈颠簸,此时速度为临界速度
l
g
v
2π
st
将l=12m,
st=,得车厢临界速度
v=
4-21
电动机质量m1=250kg,由四个刚性系数
k=30kN/m
的弹簧支持,以下列图。在电动
机转子上装有一质量
m2=,距转轴
e=10mm。已知电动机被限制在铅直方向
运动,求:(1)发生共振时的转速;(2)当转速为
1000r/min时,稳固振动的振幅。
解:用动静法解,以电动机为研究对象,取静均衡地址为
x轴原点,受力与运动解析如图,
则电机在x轴方向的均衡方程为
m1xm1g
4k(x
0)
m2
2esin
t0
(1)
系统静均衡时
4k0
m1g
式(1)改写成
x
4kx
m22esin
t
m1
m1
故系统的固有频率
4k
n
m1
(1)系统共振转速
因为
n
故
4k
43010
3

rad/s
m1
250
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转速n
30
209r/min
π
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2)逼迫振动的振幅依据逼迫振动振幅公式有
将有关数据代入上式得

h
m2e
2
b
m1
2
2
2
2
n
n

1000π
2
b
250
30

1000π
2

30
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4-23图示弹簧的刚性系数k=20N/m,其上悬一质量m=。磁棒下端穿过一线
圈,线圈内经过
π
的电流。式中
i以A(安培)计。电流自时间t=0
开始流通,
i=20sin8t
并吸引磁棒;在此以前,磁棒在弹簧上保持不动。已知磁棒和线圈间的吸引力为
F=160πi,
式中F以10-6N计。求磁棒的受迫振动。
解:以磁棒为研究对象,如图(
a),磁棒悬挂的静均衡地址为原点,设
x轴向下,得磁棒运
动微分方程
mx
kx
F
把有关数据代入
mx
kx
160π106
20sin8πt
整理得
x
kx
3200π106
sin8πt
m
π
m
设其解
x=bsin8
t
此中
b
h
2
2
n
因为
h
3200π
6
3200π10-6

2
m
10

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12/12
机械振动基础重点
2
n
k20
200rad/s

机械振动基础重点
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则b
h


2
200(8π)2
n
π
故磁棒受迫振动规律
x=
tmm
4-27图示加速度计安装在蒸汽机的十字头上,
十字头沿铅直方向作谐振动。
记录在卷筒上
的振幅等于7mm。设弹簧刚性系数
k=,其上悬挂的重物质量m=。求十字
头的加速度。(提示:加速度计的固有频率
n平时都远远大于被测物体振动频率
,即
1)
n
解:十字头的在铅垂方向作简谐运动,设其运动方程为
x1
asint
(1)
以静均衡地址为坐标原点,x轴铅垂向下,则重物的运动微分方程为
mx
k(xx1)
即x
kx
kasint
m
m
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h
t
其稳固的受迫振动方程为
x22sin
n
机械振动基础重点
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此中
2
n

k,h
ka
n2a
m
m
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因为卷筒上记录的振幅,是重物和卷筒的相对运动振幅,而卷筒的运动就是十字头的运动。
所以
a
2
a2
xr=x-x1
2
2sint
2sint
n
1-
2
n
n
2
欲使测得振幅精确,须使
n
,即令1-
1
n
a
2
t
则有xr
2sin
n
a
2
7mm
由题意知xr的振幅
2
n
即a27n2
由式(1)对t二次求导得
x1
a
2sint
x1max
2a
7
n2
7k
7

103
84000mm/s2
84m/s2
m

4-29
已知图示结构,其杠杆可绕点
O转动,重量忽视不计。质点
A质量为m,在杠杆的
点C加一弹簧CD垂直于OC,刚性系数为
k。在点D加一铅直方向搅乱位移
y=bsint。
求结构的受迫振动规律。
解:设系统自静均衡地址转过细小角度
,如图(a)。设y坐标以向下为正,此时弹性力
Fk(d
y)
依据刚体绕定轴转动微分方程有
ml2
k(d
y)d
mgl
kd2
g
kdb
t
ml
2
l
ml
2sin
n
kd2
g
kd2
mgl
ml2
l
ml2
设结构的受迫振动规律为
b1sint
因为
b1
h
bdk
2
2
ml
2
2
2
)
n
(n
故
bdk
sin
t
ml
2
(
2
2
)
n
式中
2
kd2
g
n
ml2
l
4-31
机械系统与无阻尼动力减振器连接,其简化模型以下列图。已知主体质量为
mn,主弹
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12/12
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簧刚度为kn;减振器的质量为
ma,弹簧刚性系数为
ka,
ma
1
,ka
1
。试求系统的
mn
5
kn
5
固有频率和振型。
解:采用两物块的均衡地址
O1、O2为坐标原点,两物块的位移分别为
x1、x2,受力如图(a),
分别建立两物块的运动微分方程。
mnx1
knx1
ka(x2
x1)
max2
ka(x2
x1)
mnx1
(kn
ka)x1
kax2
0
(1)
即
kax1
kax2
0
max2
令a
kn
ka,b
ka,c
ka
mn
mn
ma
则方程(1)改写成
x1
ax1
bx2
0
(2)
x2
cx1
cx2
0
设方程(2)的解为
x1
Asin(
t
)
(3)
x2
Bsin(
t
)
此中A、B是振幅,
为圆频率,
为初相位,将方程(
3)代入方程(2)中,得
(a
2)A
bB
0
(4)
cA
(c
2)B
0
若A、B有非零解,则得频率方程为
4
(
)
2
(
)0
a
c
ca
b
2
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31/12
机械振动基础重点
解得
2
1,2

ac
ac
bc(5)
2
2
机械振动基础重点
机械振动基础重点
12/12
机械振动基础重点
将
kn
ka
,b
ka
,c
ka
和已知条件
ma
1
kq
1
a
mn
mn
ma
mn
,
代入式(5),得
5kn
5
2

ka
,
2
ka
1,2
ma
2

ma
B1
a
2
6ka

ka
故
1
1
5ma
ma

A1
b
ka
5ma
机械振动基础重点
机械振动基础重点
12/12
机械振动基础重点
B2a
2
A2b

2

机械振动基础重点
机械振动基础重点
12/12
机械振动基础重点
或
(1)
1
,
(2)
1

1
2
振型如图(b)、(c)所示。
4-33
图示一均质圆轴,左端固定,在中部和另一端各装有一均质圆盘。每一圆盘对轴的转
动惯量均为J,两段轴的扭转刚性系数均为
kn,不计轴的质量。试求系统自由扭转振动的频
率。
解:以整个系统为研究对象,取两盘各自绕均衡地址的转角为
1、2为广义坐标,则系统
机械振动基础重点
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的动能为
T
1J
2

2
1
1J22
2
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系统的势能
1
2
1
2
2
1
2
V
2kn1
2kn(2
1)
kn1
kn12
2kn2
拉氏函数
1
J(
2
2
kn
2
kn1
1
kn
2
L=T–V=
1
2)
1
2
2
2
2
代入拉氏方程
d
L
)
L
0
(
dt
1
1
d
L
)
L
0
(
dt
2
2
获取系统振动微分方程组
J
1
2kn1
kn
2
0
(1)
J
kn
kn
0
2
1
2
设方程(1)的解为
1
Asin(
t
)
(2)
Bsin(
t
)
2
式(2)代入式(
1)并整理得
(J2
2kn)AknB0
(3)
knA(J2
kn)B0
若振幅A、B有非零解,得频率方程
J2
4
3Jkn
2
kn
2
0
解得
2
3Jkn
9J2kn
2
4J2kn2
3
5
kn
1,2
2J2
2
J
故
1

kn,
2

kn
J
J
4-35刚杆AB长l,质量不计,其一端B铰支,另一端固连一质量为
m的物体A,其下连接
一刚性系数为
k的弹簧,并挂有质量也为
m的物体D。杆AB中点用刚性系数也为k的弹簧
拉住,使杆在水平川址均衡。求系统振动的固有频率。
解:以整个系统为研究对象,取以下列图的
角和x为系统广义坐标,x轴原点O取在静平
衡时D的地址,则系统动能
T
1m
2l2
1mx2
2
2
设静均衡地址为零势能点,则系统势能
1k
2
V
l
1k(x
l)2
2
2
2
1m2l2
1mx2
1k
l
2
1k(xl)2
L=T-V
2
2
2
2
2
代入拉氏方程
d
L
L
0
dt
(1)
d
L
L
0
dt
x
x
得系统的振动微分方程组
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