6分析5插值法.ppt

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代数插值(续2)
从几何上看(如图5-1所示),n次多项式插值就是
过n+1个点yi=f(xi)(i=0,1,…,n),作一条多项式曲线
y=(x)近似曲线y=f(x):
y
x
y0
yn
y2
x0
x1
x2
xn
y1
(图5-1)
因此,所谓插值,即是在x0,x1,…,xn中任意插入一个x,
要求对应的f(x),具体做法是按上述方法构造n(x)以
n(x)近似f(x)。
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代数插值(续3)
插值法是求函数值的一种逼近方法,是数值分析中的
基本方法之一,作为基础,后面微分,积分,微分方程在
进行离散化处理时,要用到,作为一种逼近方法,本身也
有广泛的应用价值,如在拱桥建设中,拱轴,拱腹的设计
节点与具体施工设计点常常可能不重合。如图5-2所示。
假定:设计给出的节点为xi=2,4,6,8,10,……,施工设计拱架点为xi=,,,8,10,……部分节点不重合,此时y=f(xi)如何求?这就是插值问题。
2
4
6
8
10
x
y
(图5-2)
又如在软土地区修建铁路,公路,将不可
避免地会出现后期沉降(工后沉降)问题,其
工后沉降的大小,沉降速率都直接影响铁路,
公路的养护运营,行车速度等,因此要对其进
行严格控制。
通过对已建成路基面标高(路肩)进行测
量观测,可得到一批数据,对这些数据进行分
析(包括作插值),可推算出:
①某一时刻路基沉降(如3年,5年)的沉
降值;
②不同时期路基沉降速率;
③最终沉降值。
代数插值应用举例
代数插值应用举例(续)
插值用于数码相机增加图像的分辩率:
如果要将一幅数码图像放大,也就是使
其具有更多的像素,而多出来的像素原本
是不存在的,需要根据周围像素的色值计算
出来,这个计算的过程即为插值。
§1拉格朗日(Lagrange)插值

插值中,首先要解决的问题是:满足插值条件(5-2)
的插值多次式n(x)是否存在?如果存在,是否唯一?n次
多项式n(x)有n+1个待定系数,利用给出的n+1个不同的
节点x0,x1,…,xn,由插值条件(5-2)可得关于系数
a0,a1,…,an的n+1个方程:
插值多项式的存在性和唯一性(续)
其系数行列式:
由唯一性的上述简单证明,可以得到下面几点:
关于唯一性证明的几点说明
1:插值多项式的唯一性表明,对同一组节点,它们的
插值多项式是唯一的,可能由不同的方法,会得到不
同形式的插值多项式,但它们之间一定可以相互转化,
一定会相同,当然误差也一样。
2:n+1组节点只能确定一个不超过n次的多项式,若>n次,如设为n+1(x),则有n+2有待定参数a0,a1,…,an,an+1
需确定,而n+1个组节点,只构成n+1个插值条件,即
构成n+1个方程,只能确定n+1个变量的方程组。
3:上述证明是构造性的(给出解决问题的方法)即以
通过解线性方程组来确定插值多项式,但这种方法的计
算量偏大,计算步骤较多,容易使舍入误差增大。因此
实际计算中不采用这种方法,而用下面介绍的几种常用
的方法。

插值多项式与被插函数之间的差:
称为截断误差,又称为插值余项。
假定f(x)在区间[a,b]上n+1次连续可导,对[a,b]上任意点x,
且xxi(i=0,1,…,n),构造辅助函数:
插值多项式的误差估计(续)
在(a,b)内至少有一个零点,设为,即:
因为n(t)为至多n次多项,n+1(t)为最高次项系数为1的
n+1次多项式,因而:
又由插值条件(5-2),Rn(xi)=0(i=0,1,…,n),故函数(t)
在区间[a,b]内至少有n+2个零点x,x0,x1,…,xn。由罗尔
(Rolle)中值定理,函数在(a,b)内至少有n+1个零点。反复使用Rolle中值定理,可以得出: