基于数学结构思想的解题教学.docx

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袁晶
Summary利用数学结构思想指导学生进行数学解题,从结构和本质上认识数学,通过联想、感知和分析数学结构,提高学生对知识的系统掌握,领悟数学思想方法,培养学生分析问题和解决问题的能力。
Key数学结构思想数学结构解题教学
一、问题的提出
解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中,我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息,无从下手,或者不能及时更换思维策略,不知所措,从而导致学生数学学****上的困难。
例1P是函数y=f(x)图象上的点,Q是函数y=g(x)图象上的点,且P,Q两点之间的距离PQ能取到最小值d,那么将d称为函数y=f(x)与y=g(x)之间的距离。按这个定义,求函数f(x)=x12和g(x)=-x2+4x-3之间的距离。
此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点:
(1)y=f(x)是一个幂函数,图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线;y=g(x)是圆(x-2)2+y2=1在第一象限的半圆曲线;(2)点P到定圆上点Q的距离,要转化为点P到圆心的距离,第二个突破点是解题的难点。
其实,解决例1时,我们若是能联想到结构相近的另一类问题,解题就会有所突破。如
引例:求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。
对于引例,教师应指导学生抓住:研究圆上的动点到某直线的距离,可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征,实施从“动”到“定”的转化。而结合引例,再来分析例1,区别在于y=f(x)的图象不是直线,且点P为动点,故要设点P的坐标,表示出点P到圆心的距离,进而借助函数解决问题。
从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中,应引导学生通过解题,理解和分析题中数学结构和知识特征,使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型,进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。
二、数学结构思想
结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论,法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展,建立了数学结构思想学说,探讨诸多数学结构间的统一性。
数学结构通常分为两大类:纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等;另一类为一般数学结构,
即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性,在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异,探索数学知识间联系和一致性的方法和观点,对数学本质进行再认识与再处理。
可见,运用数学结构思想实施数学解题教学,可以帮助学生形成完整的数学结构体系,提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法,通过解题提高他们分析、解决问题的能力。
三、数学结构思想在解题教学中的运用和实践
,寻找知识联系,实现问题转化
注重数学结构思想的运用,有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系,以此为指导开展解题教学,使学生高层次地抓住问题本质。
如例题1,解题教学过程中,教师运用引例,借助变式训练,指导学生通过提取已有的数学结构,明确知识间的区别和联系,进一步提升和转化已有的知识结构,进行创造性思维,找到解决问题的方法。
,识别知识特征,形成数学体系
理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中,一个已知条件可以有几种不同的考虑角度,教师在解题教学过程中,适当引导
学生,感知题目中的数学结构,识别各种结构具有的知识特征,进而选择合理的解决方法。
例2已知△ABC中,AB=1,BC=2,求角C的取值范围。
解析:
方法一:感知“两边一对角”的结构特征,想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识,借助图形有1≥2sinC,得到sinC≤12,再结合C∈(0,π),得C∈0,π6。
方法二:感知“两边和一角”的结构特征,想到“用余弦定理表示角”的知识,设AC=x,借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x,结合x的范围利用基本不等式,得cosC≥32,再结合C∈0,π,得C∈0,π6。
方法三:感知“三角形中,已知的边AB∩BC=B”的结构特征,想到“借助作三角形图,观察动角C的变化”的知识,先确定边BC,再以B为圆心,1为半径作圆,画出顶点A的轨迹,进而确定角C的变化,再结合C∈0,π,得C∈0,π6。
可见,学生审题过程中会出现多种思想火花,教师在数学结构思想的指导下,不要随意否定学生,应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构,形成系统知识体系。
,合情归纳推理,达成目标简化
解题时,学生有时不能很快明确其中的突破点,教师在数学结构思想观下,引导学生合情推理,通过特殊到一般、类比归纳等方式,重新明确问题,进一步地分析其中的知识结构,建立恰当的数学模型,以达成目标的简化。
例3(江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题)
电子蛙跳游戏是:青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点.
同理,可以得到P(X=0)=4981。
根据解题过程中(1)的数学结构,借助归类进一步认识结构,实际是分步计数原理的应用。利用树形图,合情推理和猜想,对结构从特殊到一般的认识,从而应用结构,对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。
四、结论
基于数学结构思想的数学解题教学,不单是教会学生解决某一道题,也不是提倡“形式主义”,而是要通过解题,借助变式、一题多解等教学方式,让学生领悟各种数学结构,体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型,加深巩固所学的公式、概念和定理等,引导学生寻找知识联系,识别知识特征,合情归纳推理,提高解决数学问题的能力。
Reference:
[1][J].(4):25~29
[2]张奠宙,李士錡,[M].高等教育出版社,2003
[3][J].(12):125
[4][J].(12):1
(江苏省无锡市第六高级中学)endprint
Summary利用数学结构思想指导学生进行数学解题,从结构和本质上认识数学,通过联想、感知和分析数学结构,提高学生对知识的系统掌握,领悟数学思想方法,培养学生分析问题和解决问题的能力。
Key数学结构思想数学结构解题教学
一、问题的提出
解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中,我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息,无从下手,或者不能及时更换思维策略,不知所措,从而导致学生数学学****上的困难。
例1P是函数y=f(x)图象上的点,Q是函数y=g(x)图象上的点,且P,Q两点之间的距离PQ能取到最小值d,那么将d称为函数y=f(x)与y=g(x)之间的距离。按这个定义,求函数f(x)=x12和g(x)=-x2+4x-3之间的距离。
此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点:
(1)y=f(x)是一个幂函数,图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线;y=g(x)是圆(x-2)2+y2=1在第一象限的半圆曲线;(2)点P到定圆上点Q的距离,要转化为点P到圆心的距离,第二个突破点是解题的难点。
其实,解决例1时,我们若是能联想到结构相近的另一类问题,解题就会有所突破。如
引例:求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。
对于引例,教师应指导学生抓住:研究圆上的动点到某直线的距离,可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征,实施从“动”到“定”的转化。而结合引例,再来分析例1,区别在于y=f(x)的图象不是直线,且点P
为动点,故要设点P的坐标,表示出点P到圆心的距离,进而借助函数解决问题。
从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中,应引导学生通过解题,理解和分析题中数学结构和知识特征,使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型,进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。
二、数学结构思想
结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论,法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展,建立了数学结构思想学说,探讨诸多数学结构间的统一性。
数学结构通常分为两大类:纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等;另一类为一般数学结构,即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性,在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异,探索数学知识间联系和一致性的方法和观点,对数学本质进行再认识与再处理。
可见,运用数学结构思想实施数学解题教学,可以帮助学生形成完整的数学结构体系,提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法,通过解题提高他们分析、解决问题的能力。
三、数学结构思想在解题教学中的运用和实践
,寻找知识联系,实现问题转化
注重数学结构思想的运用,有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系,以此为指导开展解题教学,使学生高层次地抓住问题本质。
如例题1,解题教学过程中,教师运用引例,借助变式训练,指导学生通过提取已有的数学结构,明确知识间的区别和联系,进一步提升和转化已有的知识结构,进行创造性思维,找到解决问题的方法。
,识别知识特征,形成数学体系
理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中,一个已知条件可以有几种不同的考虑角度,教师在解题教学过程中,适当引导学生,感知题目中的数学结构,识别各种结构具有的知识特征,进而选择合理的解决方法。
例2已知△ABC中,AB=1,BC=2,求角C的取值范围。
解析:
方法一:感知“两边一对角”的结构特征,想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识,借助图形有1≥2sinC,得到sinC≤12,再结合C∈(0,π),得C∈0,π6。
方法二:感知“两边和一角”的结构特征,想到“用余弦定理表示角”的知识,设AC=x,借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x,结合x的范围利用基本不等式,得cosC≥32,再结合C∈0,π,得C∈0,π6。
方法三:感知“三角形中,已知的边AB∩BC=B”的结构特征,想到“借助作三角形图,观察动角C的变化”的知识,先确定边BC,再以B为圆心,1为半径作圆,画出顶点A的轨迹,进而确定角C的变化,再结合C∈0,π,得C∈0,π6。
可见,学生审题过程中会出现多种思想火花,教师在数学结构思想的指导下,不要随意否定学生,应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构,形成系统知识体系。
,合情归纳推理,达成目标简化
解题时,学生有时不能很快明确其中的突破点,教师在数学结构思想观下,引导学生合情推理,通过特殊到一般、类比归纳等方式,重新明确问题,进一步地分析其中的知识结构,建立恰当的数学模型,以达成目标的简化。
例3(江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题)
电子蛙跳游戏是:青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点.
同理,可以得到P(X=0)=4981。
根据解题过程中(1)的数学结构,借助归类进一步认识结构,实际是分步计数原理的应用。利用树形图,合情推理和猜想,对结构从特殊到一般的认识,从而应用结构,对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。
四、结论
基于数学结构思想的数学解题教学,不单是教会学生解决某一道题,也不是提倡“形式主义”,而是要通过解题,借助变式、一题多解等教学方式,让学生
领悟各种数学结构,体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型,加深巩固所学的公式、概念和定理等,引导学生寻找知识联系,识别知识特征,合情归纳推理,提高解决数学问题的能力。
Reference:
[1][J].(4):25~29
[2]张奠宙,李士錡,[M].高等教育出版社,2003
[3][J].(12):125
[4][J].(12):1
(江苏省无锡市第六高级中学)endprint
Summary利用数学结构思想指导学生进行数学解题,从结构和本质上认识数学,通过联想、感知和分析数学结构,提高学生对知识的系统掌握,领悟数学思想方法,培养学生分析问题和解决问题的能力。
Key数学结构思想数学结构解题教学
一、问题的提出
解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中,我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息,无从下手,或者不能及时更换思维策略,不知所措,从而导致学生数学学****上的困难。