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模糊数学教案01.ppt


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关系的三大特性:
设R为X上的关系
(1)自反性:若X上的任何元素都与自己有关系R,即R(x,x)=1,则称关系R具有自反性;
(2)对称性:对于X上的任意两个元素x,y,若x与y有关系R时,则y与x也有关系R,即若R(x,y)=1,则R(y,x)=1,那么称关系R具有对称性;
(3)传递性:对于X上的任意三个元素x,y,z,若x与y有关系R,y与z也有关系R时,则x与z也有关系R,即若R(x,y)=1,R(y,z)=1,则R(x,z)=1,那么称关系R具有传递性.
关系的矩阵表示法
设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},R为从X到Y的二元关系,记
rij=R(xi,yj),R=(rij)m×n,
则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.
(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}
关系合成的矩阵表示法
设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn},且X到Y的关系
R1=(aik)m×s,
Y到Z的关系
R2=(bkj)s×n,
则X到Z的关系可表示为矩阵的合成:
R1°R2=(cij)m×n,
其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.
定义:若R为n阶方阵,定义
R2=R°R,R3=R2°R…
例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,
R1={(x,y)|x+y=6}
={(2,4),(3,3),(4,2)},
R2={(x,y)|y–z=1}
={(2,1),(3,2),(4,3)},
则R1与R2的合成
R1°R2={(x,y)|x+z=5}
={(2,3),(3,2),(4,1)}.
合成(°)运算的性质:
性质1:(A°B)°C=A°(B°C);
性质2:Ak°Al=Ak+l,(Am)n=Amn;
性质3:A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C);
(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A);
性质4:O°A=A°O=O,I°A=A°I=A;
性质5:A≤B,C≤DA°C≤B°D.
O为零矩阵,I为n阶单位方阵.
A≤Baij≤bij.
关系三大特性的矩阵表示法:
设R为X={x1,x2,…,xn}上的关系,则其关系矩阵R=(rij)n×n为n阶方阵.
(1)R具有自反性I≤R;
(2)R具有对称性RT=R;
(3)R具有传递性R2≤R.
若R具有自反性,则
I≤R≤R2≤R3≤…
下面证明:
R具有传递性R2≤R.
R=(rij)n×n
设R具有传递性,即对任意的i,j,k,若有rij=1,rjk=1,则有rik=1.
对任意的i,j,若
∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0,

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.
若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1,则存在1≤s≤n,使得
(ris∧rsj)=1,
即ris=1,rsj=1.
由于R具有传递性,则rij=1,所以
∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.
综上所述R2≤R.
设R2≤R,则对任意的i,j,k,若有
rij=1,rjk=1,
即(rij∧rjk)=1,因此
∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1,
由R2≤R,得rik=1,所以R具有传递性.
集合上的等价关系
设X上的关系R具有自反性、对称性、传递性,则称R为X上的等价关系.
若x与y有等价关系R,则记为xy.
集合上的等价类
设R是X上的等价关系,x:
[x]R={y|yX,yx}.
集合的分类
设X是非空集,Xi是X的非空子集,若
∪Xi=X,且Xi∩Xj=(ij),
则称集合族{Xi}是集合X的一个分类.

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  • 时间2022-12-05