模糊数学教案02.ppt

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证明性质3:(A°B)T=BT°AT;(An)T=(AT)n.
证明:设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,
记(A°B)T=(cijT)n×m,AT=(aijT)s×m,BT=(bijT)n×s,
由转置的定义知,
cijT=cji,aijT=aji,bijT=bji.
BT°AT=[∨(bikT∧akjT)]n×m
=[∨(bki∧ajk)]n×m
=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m
=(cijT)n×m=(A°B)T.
模糊矩阵的-截矩阵
定义7设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1],称
A=(aij())m×n,
为模糊矩阵A的-截矩阵,其中
当aij≥时,aij()=1;当aij<时,aij()=0.
显然,A的-截矩阵为布尔矩阵.
对任意的∈[0,1],有
性质1:A≤BA≤B;
性质2:(A∪B)=A∪B,(A∩B)=A∩B;
性质3:(A°B)=A°B;
性质4:(AT)=(A)T.
下面证明性质1:A≤BA≤B和性质3.
性质1的证明:A≤Baij≤bij;
当≤aij≤bij时,aij()=bij()=1;
当aij<≤bij时,aij()=0,bij()=1;
当aij≤bij<时,aij()=bij()=0;
综上所述aij()≤bij()时,故A≤B.
性质3的证明:
设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,
cij()=1cij≥∨(aik∧bkj)≥
k,(aik∧bkj)≥k,aik≥,bkj≥
k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1
cij()=0cij<∨(aik∧bkj)<
k,(aik∧bkj)<k,aik<或bkj<
k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0
所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).
(A°B)=A°B.
§
与模糊子集是经典集合的推广一样,模糊关系是普通关系的推广.
设有论域X,Y,XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.
模糊子集R的隶属函数为映射
R:XY[0,1].
并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.
特别地,当X=Y时,称之为X上各元素之间的模糊关系.
模糊关系的运算
由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集,因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.
设R,R1,R2均为从X到Y的模糊关系.
相等:R1=R2R1(x,y)=R2(x,y);
包含:R1R2R1(x,y)≤R2(x,y);
并:R1∪R2的隶属函数为
(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y);
交:R1∩R2的隶属函数为
(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y);
余:Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).
(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度,(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度,Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.
模糊关系的矩阵表示
对于有限论域X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn},则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示,即
R=(rij)m×n,
其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).
例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位:cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位:kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.
40
50
60
70
80
140
1



0
150

1



160


1


170



1

180
0



1
模糊关系的合成
设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.
(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}
当论域为有限时,模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.
设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn},且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s,Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n,则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成:
R1°R2=(cij)m×n,
其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.