北师大版数学九年级上册 第4章 图形的相似单元测试.pdf

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北师大版数学九年级上册第4章图形的相似单元测试
一、选择题
���−�
=,则等于()
58�
3585
.
5358
:9,则这两个三角形的对应高的比为()
::::4
3.(公众号:齐齐课堂)如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截,交点分别为A、
B、C和D、E、F,且AB=3,BC=4,EF=,则DE=()

𝐶3𝐶
,在△ABC中,DE∥AB,且=,则的值为()
𝐶2𝐶
3243
.
5352
,矩形ABCD∽矩形DEFC,且面积比为4:1,则AE:ED的值为()
::::2
1:.
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,点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,若OA:OA1=1:3,则五边
形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是()
::::9
,已知A(6,0),B(0,8),C(0,﹣2),过点C作直线L交x轴于点D,
使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线一共可以作()条.

8.(公众号:齐齐课堂)已知△ABC中,∠BAC=90°,用尺规过A作一条直线,使其将△ABC
分成两个相似的三角形,其作法不正确的是()
.
.
,其中木竿AB=2m,它的影子BC=,
木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,它的影子QN=,MN=,木竿PQ的长度为
()

2:.
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,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、DC上,AE、AF分别交BD于点M、N,
𝑀2
连接CN、EN,且CN=:①AN=EN,AN⊥EN;②BE+DF=EF;③=;
��2
④图中只有4对相似三角形,其中正确结论的个数是()

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
:3,两个三角形的周长的和是100cm,那么较小的三
角形的周长为cm.(公众号:齐齐课堂)
,△ADE~△ABC,AD=3,AE=4,BE=5,CA的长为.
,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,
且AB=3,BC=4,EF=,则DE的长为.
,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一
动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为.
3:.
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,两根竖直的电线杆AB长为12,CD长为4,AD交BC于点E,则点E到地面的距
离EF的长是.(公众号:齐齐课堂)
,O为Rt△ABC斜边中点,AB=10,BC=6,M,N在AC边上,∠MON=∠B,若△OMN
与△OBC相似,则CM=.
,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),
正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的
位似中心的坐标是.
,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=6,AC=8,F为DE中点,若点D在
直线BC上运动,连接CF,则在点D运动过程中,线段CF的最小值是.
4:.
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三、解答题(本大题共8小题,、证明过程或演算步骤)
�3�−2�
19.(1)已知=,求的值(公众号:齐齐课堂)
�4�+2�
����−2�+3�
(2)已知==,求的值.
234�+�+�
×16的边长为1的方格,在方格中有△ABC.
(1)以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1,使作出的边长A1B1=2AB,并保留作
图痕迹;
(2)将△ABC绕点A顺时针方向旋转45°,在旋转的过程中,△ABC形状保持不变,面
积逐渐增大,旋转到45°时止,此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍,
请你计算AC′、C′B′的长,并作出旋转后的图形.
,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE:AD=1:4,BE的延长线交AC于F,求
AF:CF的值.
,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,在BC边上取点D,使AB=BD,构造正方形
ABDE,DE交AC于点F,作EG⊥AC交AC于点G,交BC于点H.
(1)求证:EF=DH;
(2)若AB=6,DH=2DF,求AC的长.
5:.
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,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B
运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另
一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时
间是多少?(公众号:齐齐课堂)
,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CE⊥AB于点E,BE=2OE,延长AB至点D,
使得BD=AB,P是弧AB(异于A,B)上一个动点,连接AC、PE.
(1)若AO=3,求AC的长度;
(2)求证:CD是⊙O的切线;
(3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PE=k•PD,如果存在,求k的值,如果
不存在,请说明理由.
,已知AC为正方形ABCD的对角线,点P是平面内不与点A,B重合的任意一点,
连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.
(1)求证:△APE∽△ABC;
𝐵
(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求的值以及∠BMC的度数;
𝐶
(3)若正方形ABCD的边长为3,AP=1,当点P,C,E在同一直线上时,求线段BP的长.
6:.
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2
26.(1)如图1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD=∠:AC=AD•AB.
(2)如图2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE=∠
=4,BE=3,求AD的长.(公众号:齐齐课堂)
(3)如图3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC=2EF,
1
∠EDF=2∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.
7:.
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5
1.【分析】直接利用已知得出a=8b,进而代入原式求出答案.
��
【解析】∵=,
58
5
∴a=8b,
5
�−��−8�3
则=5=.
��5
8
2.
【分析】直接利用相似三角形的性质求解.
【解析】因为两个相似三角形的相似比为4:9,
所以则这两个三角形的对应高的比为4:9.
3.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算得到答案.
【解析】∵a∥b∥c,(公众号:齐齐课堂)
���𝐶�3
∴=,即=,
����
解得,DE=,
4.
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例,据此可得结论.
【解析】∵DE∥AB,
𝐶𝐶3
∴==,
��𝐶2
𝐶3
∴的值为,
𝐶5
5.
【分析】由相似多边形的性质知AB:DE=2:1,据此设AE=x,DE=a,则DC=AB=2a,
2�(�+�)4
根据面积比得出2=,整理可得答案.
2�1
【解析】∵矩形ABCD∽矩形DEFC,且面积比为4:1,
∴AB:DE=2:1,
∴设AE=x,DE=a,
∴DC=AB=2a,
8:.
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2�(�+�)4
则2=,
2�1
整理,得:x=3a,
�
则=3,即AE:ED=3:1,
�
6.
【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA1=1:3,可得位
似比为:1:3,根据相似图形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案.
【解析】∵点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA1=1:3,
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为:1:3,
∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是:1:9.
7.
𝐶3��34
【分析】△AOB是直角三角形,且=,要使△COD与△AOB相似,则=或,这
��4𝐶43
样可以得到D点的坐标有四个,然后确定直线的条数.
𝐶��3
【解析】若△AOB∽△COD,则==,
��𝐶4
888
∴OD=3,则D(,0)或(−3,0).
3
𝐶𝐶3
若△AOB∽△DOC,则==,
����4
333
∴OD=2,则D(,0)或(−2,0).
2
所以可以作出四条直线.(公众号:齐齐课堂)
8.
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断;
【解析】A、由作图可知:∠CAD=∠B,可以推出∠C=∠BAD,故△CDA与△ABD相似,
故本选项不符合题意;
B、由作图可知:AD⊥BC,∵∠BAC=90°,故△CAD∽△ABD,故本选项不符合题意;
C、由作图可知:AD⊥BC,∵∠BAC=90°,故△CAD∽△ABD,故本选项不符合题意;
D、无法判断△CAD∽△ABD,故本选项符合题意;
9.
【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例,进而得出答案.
【解析】连接AC,过点M作MF⊥PF,
9:.
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∵同一时刻物体影子与实际高度成比例,
2��
∴=,

解得:PF=,
∴PQ=PF+FQ=PF+MN=+=(m),
10.
【分析】①正确,只要证明△NBA≌△NBC,∠ABE+∠ANE=180°即可解决问题;
②△AFH≌△AFE即可;(公众号:齐齐课堂)
�𝐶�2
③,首先证明△AMN∽△AFE,可得==,即可解决问题;
����2
④.
【解析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH.
∵四边形ABCD是中正方形,
∴AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°,
𝑀=𝑀
在△BNA和△BNC中,∠�𝐶=∠���,
𝐶=��
∴△NBA≌△NBC(SAS),
∴AN=CN,∠BAN=∠BCN,
∵EN=CN,
∴AN=EN,∠NEC=∠NCE=∠BAN,
∵∠NEC+∠BEN=180°,
∴∠BAN+∠BEN=180°,
∴∠ABC+∠ANE=180°,
∴∠ANE=90°,
∴AN=NE,AN⊥NE,故①正确,
∴∠3=∠AEN=45°,
10:.
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∵∠3=45°,∠1=∠4,
∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°,
∴∠3=∠FAH=45°,∵AF=AF,AE=AH,
∴△AFE≌△AFH(SAS),
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE,∠AFH=∠AFE,故②正确,
∵∠MAN=∠NDF=45°,∠ANM=∠DNF,
∴∠AMN=∠AFD,
∴∠AMN=∠AFE,
∵∠MAN=∠EAF,
∴△AMN∽△AFE,
�𝐶�2
∴==,
����2
故③正确,(公众号:齐齐课堂)
图中相似三角形有△ANE∽△BAD~△BCD,△ANM∽△AEF,△ABN∽△FDN,△BEM∽△DAM
等,故④错误,
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上
11.【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算.
【解析】设较小的三角形的周长为xcm,则较大的三角形的周长为(100﹣x)cm,
∵两个相似三角形的相似比为2:3,
∴两个相似三角形的周长比为2:3,
�2
∴=,
100−�3
解得,x=40,
11:.
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12.【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案.
【解析】∵△ADE∽△ABC,(公众号:齐齐课堂)
����
∴=,
�𝐶�
∵AD=3,AE=4,BE=5,
43
∴=,
��9
解得:AC=12.
故答案为:12.
13.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入数据进行计算即可得到答案.
【解析】∵a∥b∥c,
����
∴=,
����
��3
即=,

∴DE=,
14.
�𝐵�
【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°,求得CP=BC﹣BP,①当=,②
𝐶��
�𝐵�
当=,根据相似三角形的性质即可得到结论.
��𝐶
【解析】∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=∠B=90°,
∵CP=BC﹣BP,
�𝐵�1��
①当=,即=时,△ABP∽△DCP,
𝐶��23−��
解得:PB=1,
�𝐵�1��
②当=,即=时,△ABP∽△PCD,
��𝐶3−��2
解得:x1=1,x2=2,
∴BP=1或BP=2,
15.
����𝐸��
【分析】根据相似三角形对应边成比例可得=,=,然后代入数据两式相
𝐶��𝐶𝐶
12:.
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加其解即可.
【解析】∵两根电线杆AB、CD都竖直,EF垂直于地面,
∴△ABD∽△EFD,△BCD∽△BEF,(公众号:齐齐课堂)
����𝐸��
∴=,=,
𝐶��𝐶𝐶
��𝐸����
∴+=+,
𝐶𝐶𝐶��
����
即+=1,
124
解得EF=3.
16.
【分析】分两种情形分别求解:①如图1中,当∠MON=∠OMN时.②如图2中,当∠MON
=∠ONM时.
【解析】∵∠ACB=90°,AO=OB,
∴OC=OA=OB,
∴∠B=∠OCB,
∵∠MON=∠B,若△OMN与△OBC相似,
∴有两种情形:①如图1中,当∠MON=∠OMN时,
∵∠OMN=∠B,∠OMC+∠OMN=180°,
∴∠OMC+∠B=180°,
∴∠MOB+∠BCM=180°,
∴∠MOB=90°,
∵∠AOM=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOM∽△ACB,
��𝐶
∴=,
�𝐶�
��5
∴=,
108
25
∴AM=,
4
257
∴CM=AC﹣AM=8−4=4.
②如图2中,当∠MON=∠ONM时,
13:.
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∵∠BOC=∠OMN,
∴∠A+∠ACO=∠ACO+∠MOC,
∴∠MOC=∠A,
∵∠MCO=∠ACO,
∴△OCM∽△ACO,
2
∴OC=CM•CA,
∴25=CM•8,
25
∴CM=8,
17.
【分析】连接HD并延长交x轴于点P,根据正方形的性质求出点D的坐标为(3,2),证
明△PCD∽△PGH,根据相似三角形的性质求出OP,另一种情况,连接CE、DF交于点P,
根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式,求出两直线交点,得到答案.
【解析】连接HD并延长交x轴于点P,则点P为位似中心,
∵四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(1,2),
∴点D的坐标为(3,2),(公众号:齐齐课堂)
∵DC∥HG,
∴△PCD∽△PGH,
��𝐶𝐵+32
∴=,即=,
��𝑃𝐵+94
解得,OP=3,
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(﹣3,0),
连接CE、DF交于点P,
由题意得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),
求出直线DF解析式为:y=﹣x+5,直线CE解析式为:y=2x﹣6,
�=−�+5
�=2�−6,(公众号:齐齐课堂)
11
�=
解得,3,
4
�=3
114
直线DF,CE的交点P为(,),
33
14:.
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114
所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(,),
33
114
故答案为:(﹣3,0)或(,).
33
18.
1
【分析】连接CE,根据∠DCE=90°,F是DE的中点,可得CF=2DE,再根据当AD⊥BC
时,AD最短,此时DE最短,根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质,求得DE的
最小值,即可得出CF的最小值.
【解析】如图,连接CE,
∵△ABC∽△ADE,
∴∠ACD=∠AEG,
又∵∠AGE=∠DGC,
∴△AGE∽△DGC,
����
∴=,
��𝑃
又∵∠AGD=∠EGC,
∴△AGD∽△EGC,
∴∠ADG=∠ECG,
又∵Rt△ADE中,∠ADG+∠AEG=90°,
15:.
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∴∠ECG+∠ACD=90°,即∠DCE=90°,
∵F是DE的中点,
1
∴CF=2DE,
∵△ABC∽△ADE,
∴当AD⊥BC时,AD最短,此时DE最短,
����
当AD⊥BC时,AD=��=,
����
∵=,即=,
���𝐶�10
∴DE=8,
1
∴CF=2×8=4.
三、解答题
19.【分析】(1)依据比例的性质可得到2b=,然后代入计算即可;
���
(2)设===k(k≠0),则x=2k,y=3k,z=4k,然后代入计算即可.
234
�3
【解析】(1)∵=,
�4
∴2b=,
�−2��−�1
∴==−;
�+2��+�5
���
(2)设===k(k≠0),则x=2k,y=3k,z=4k,
234
�−2�+3�2�−6�+12�8
∴==.
�+�+�2�+3�+4�9
20.
【分析】(1)以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1,使作出的边长A1B1=2AB,据
此进行作图即可;(公众号:齐齐课堂)
(2)根据△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍,△ABC绕点A顺时针方向旋转45°,
据此进行作图即可得到△AC′B′,以及AC′、C′B′的长.
【解析】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
16:.
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(2)如图所示,△AB'C即为所求;
计算:假设AC'=xA'C,则C'B'=xCB,则
1121
有AC'×C'B'=2xAC×CB=8×2AC×CB,
2
∴x=22,
∴AC'=22,C'B'=42.
21.
【分析】作DH∥BF交AC于H,易证FH=HC,根据平行线分线段成比例定理,由此即可
解决问题.
【解析】作DH∥BF交AC于H,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵DH∥BF,
∴FH=HC,
∵AE:AD=1:4,
∴AE:ED=1:3,
∵DH∥BF,
����1
==,
�𝐶�3
∴AF:FC=1:6.
22.
【分析】(1)利用AAS证明△AFE≌△EHD,再由全等三角形的性质可得结论;
(2)DH=2DF,EF=DH及正方形的边长为6,求得DF和EF的长;再判定△AEF∽△CDF,
由相似三角形的性质得比例式,求得DC的长,从而可得BC的长;最后在Rt△ABC中,
由勾股定理可求得AC的长.(公众号:齐齐课堂)
17:.
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【解析】(1)证明:在正方形ABDE中,AE=ED,∠AEF=∠EDH=90°
∴∠DHE+∠GEF=90°
∵EG⊥AC
∴∠GEF+∠GFE=90°
∴∠GFE=∠DHE
在△AFE和△EHD中
∠���=∠�𝐶
∠���=∠���=90°
��=��
∴△AFE≌△EHD(AAS)
∴EF=DH;
(2)∵DH=2DF,EF=DH
∴设DF=x,则EF=DH=2x
∵AB=6
∴AE=DE=6
∴x+2x=6
∴x=2
∴DF=2,EF=4
∵在正方形ABDE中,AE∥BD
∴△AEF∽△CDF
�𝐶�
∴=
����
��2
∴=
64
∴DC=3
∴BC=BD+DC=6+3=9
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AC=��2+��2=62+92=313
∴AC的长为313.
23.
【分析】首先设运动了ts,根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,然后分别从当△APQ∽△
18:.
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ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案.
【解析】设运动了ts,(公众号:齐齐课堂)
根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,
则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t(cm),
����
当△APQ∽△ABC时,=,
�𝐶�
2�16−3�
即=,
816
16
解得:t=7;
����
当△APQ∽△ACB时,=,
�𝐶�
2�16−3�
即=,
168
解得:t=4;
16
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是:s或4s.
7
24.
�𝐶�
【分析】(1)通过证明△ACB∽△AEC,可得=,即可求解;
����
(2)连接OC,设OB=OC=3k,用k表示OC,CD,DO的长,由勾股定理逆定理可证∠OCD
=90°,可证CD是⊙O的切线;(公众号:齐齐课堂)
��𝐵1
(3)通过证明△EOP∽△POD,可得==,即可求解.
��𝐶3
【解析】(1)∵AO=BO=3,BE=2OE,
∴OE=1,BE=2,AB=6,
∴AE=4,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEA=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△AEC,
�𝐶�
∴=,
����
19:.
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��6
∴=
4��
∴AC=26;
(2)如图,连接OC,
∵设OB=OC=3k,
∵BE=2OE,
∴OE=k,BE=2k,
∴CE=��2−𝐶2=22k,
∵DE=BD+BE=AB+BE=8k,
∴CD=𝐶2+��2=62k,
222222
∵OC+DC=9k+72k,OD=81k,
222
∴OC+DC=OD,
∴∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(3)连接OP,
设OB=OC=OP=3k,
∵BE=2OE,
∴OE=k,BE=2k,
𝐶𝐵1
∵==,∠EOP=∠POD,
𝐵𝐶3
∴△EOP∽△POD,
��𝐵1
∴==,
��𝐶3
1
∴PE=3PD,
1
∴k=.
3
25.
【分析】(1)先求出∠APE=∠ABC=90°,∠PAE=∠PEA=∠ABC=45°,即可得出结论;
����
(2)由(1)知,△APE∽△ABC,得出=,再判断出∠PAB=∠EAC,进而判断出
�𝐶�
△PAB∽△EAC,即可得出结论;(公众号:齐齐课堂)
(3)先画出图形,利用勾股定理求出CP',再分两种情况,求出CE和CE',借助(2)
20:.
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的结论,即可得出结论.
【解析】(1)∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°,
由旋转知,PA=PE,∠APE=90°=∠ABC,
∴∠PAE=∠PEA=45°=∠BAC,
∴△APE∽△ABC;
(2)在Rt△ABC中,AB=CB,
∴AC=2AB,
由(1)知,△APE∽△ABC,
����
∴=,
�𝐶�
∵∠BAC=∠PAE=45°,
∴∠PAB=∠EAC,
∴△PAB∽△EAC,
𝐵�𝐶�2
∴===,
𝐶��2��2
∵△PAB∽△EAC,
∴∠ABP=∠ACE,
∴∠BCE+∠CBM=∠BCE+∠ABP+∠ABC=∠BCE+∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠ABC=45°+90°
=135°,(公众号:齐齐课堂)
∴∠BMC=180°﹣(∠BCE+∠CBM)=45°;
(3)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=3,
∴AC=32,
∵点P,C,E在同一条线上,且∠APE=90°,
∴CP=��2−��2=17,
∴CE=CP﹣PE=17−1或CE'=CP'+P'E=17+1,
𝐵2
由(2)知,=,
𝐶2
2234−2234+2
∴BP=2CE=2(17−1)=2或BP'=2CE'=2;
34+234−2
即:BP的长为或.
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