高一数学必修2教案：1.2.3直线与平面的位置关系3.docx

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授课目的:
、直线与平面所成角的看法

“线线垂直”相互转变的方法
授课重点:
授课目的1、2、3
授课难点:
求直线与平面所成角的基本方法及空间与平面“线线垂直”相互转变的方法
授课过程:

(1)复****空间两条直线的地址关系:平行、订交、异面
(2)问题:前面我们学****了直线与平面垂直,这其实是直线和平面订交的一种特别情况,更多时候,直线和平面是订交时,直线与平面是不垂直的,即是“斜交”的,倾斜的程度有大有小,那么我们用什么来刻画直线与平面斜交的倾斜程度呢?

一条直线与一个平面订交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线;斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.

P
如图,过平面外一点P向平面引斜线和垂线,则过斜足Q和垂
足
P1
内的正投影(简称射影),线段
PQ
Q
P
的直线就是斜线在平面
就
1
1
是斜线段PQ在平面
内的射影.

平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角,,
PQP就是PQ与平面所成的角.
1
说明:
(1)
若直线垂直于平面,我们说它们所成角为
90;
(2)
若直线平行于平面或在平面内,我们说它们所成角为
0;
(3)
直线和平面所成角的范围为:0
90;
(4)可以证明:PQ与平面
内经过点Q的直线所成的所有角中,
:一条直线
和一个平面所成的角是这条直线和这个平面内所有直线所成角中的最小角.
(5)
求解线面角的重点是找这条直线在这个平面内的射影
.

,已知AC,AB分别是平面的垂线和斜线,C,B
分别是垂足和斜足,a,aAB,求证:aBC.

A
解析:∵BC平面ABC,∴只要证明a平面ABC即可.
证明:∵AC,a,∴aAC,
又∵aAB,且AC,AB交于A,

a
CB
∴a平面ABC,又∵BC平面ABC,∴aBC.
注:本题即“若是平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条直
线在这个平面内的射影垂直.”(三垂线定理)
问题:反之可否成立?(成立)即“若是平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内
的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直.”(三垂线定理逆定理)
,已知BAC在平面内,P,PABPAC,
求证:点
P在平面
上的射影在
BAC的均分线上.
证明:作
PO
,
PE
AB,PF
AC,垂足分别为O,E,F,连结
PE
AB,PF
AC
∵
PAE
PAF
Rt
PAE
RtPAF
AEAF,
PA
PA
PO
AB
PO,又∵AB
PE,∴AB
平面PEO,
Q
A
AB
∴AB

OF.
在Rt
AOE和RtAOF,AE
AF,OAOA,
∴RtAOE
RtAOF,∴EAO
FAO,

OE,OF,OA,
P
EB
O
FC
即点P在平面
上的射影在
BAC的均分线上.
,P为平面ABCD外一点,PA
平面ABCD,且
PA
2a,求PC与平面ABCD所成的角.
P
解:连结AC,QPA
平面ABCD,
PC在平面ABCD内的射影为AC,PA
AC,
PCA就是PC与平面ABCD所成的角,
A
D
在正方形ABCD中,AC
2a,
又QPA
2a
,PA
AC,
B
C
PAC为等腰直角三角形,即
PCA45
,
PC与平面ABCD所成的角为45.
,求BC1与平面ACC1A1
所成的角.
解:连结BD交AC于点O,连结OC1,
D
1
C
Q在正方体AC1中,AA1
平面ABCD,AA1
1
BD,
B1
又Q在正方形
ABCD
中,
AC
BD
,
A1
BD
平面ACC1A1,
BC1在平面ACC1A1内的射影为OC1,
OC1B为BC1与平面ACC1A1所成的角,

DC
设正方体AC1棱长为a,
A
O
1BD
2a,BC
B
在RtOC1B中,BO
2a,
2
2
1
OC1B30,即BC1与平面ACC1A1所成的角为30.
,在RtABC中,已知
C
90,AC
BC1,PA
平面ABC,且PA
2,
求PB与平面PAC所成的角.
解:QPA平面ABC,PA
BC,
QC90即AC
BC,
BC
平面PAC,
P
PB在平面PAC内的射影为PC,
BPC为PB与平面PAC所成的角,
在RtBPC中,PB
2,BC
1,
BPC30
,
C
即PB与平面PAC所成的角为
30
.
A
B
,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PDDC,E是PC中点,
求证:PAP平面EDB;
求EB与底面ABCD所成角的正切值.
证明:连结AC交BD于O,连结EO,
Q底面ABCD是正方形,O为AC中点,QE是PC中点,EOPPA,
QPA平面EDB,EO平面EDB,
PAP平面EDB.
(2)解:取CD中点F,连结EF,BF,

P
E
CB
F
O
DA
QE是PC中点,
EFPPD,
QPD
底面ABCD,
EF
底面ABCD,
EB在底面ABCD内的射影为FB,
EBF为EB与底面ABCD所成角,
设正方形ABCD边长是a,
则在Rt
EBF中,BF
BC
2
CF2
5a,EF
1PD
1DC
1a,
2
2
2
2
tan
EF
5
,
5
.
EBF
5
EB与底面ABCD所成角的正切值为
BF
5

(1)直线与平面所成角的有关看法;
(2)直线与平面所成角的作法及求解的基本方法.
求解线面角的重点是找这条直线在这个平面内的射影,找这条直线在这个平面内的射影的重点是找到“垂足”与“斜足”.