苏科版数学九年级上册 2.2 圆的对称性 同步练习.pdf

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知识点一、圆的中心对称
,对称中心就是圆心;
,都能与原来的图形
重合;
.
知识点二、圆心角、弧、弦之间的关系
:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;
如图所示,∵∠AOB=∠COD,∴AB=CD,.
:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们
所对应的其余各组量都分别相等;(公众号:齐齐课堂)
:在同圆或等圆中,如果没有这个前提条件,那么定理就是不成立的.
如图所示:两个圆的圆心相同,与对应同一圆心角,但是,
.
例:如图所示,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:
.
1:.
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【解答】见解析
【解析】证法一:如上图所示,连OC、OD,则OC=OD,
∵OA=OB,且,
∴OM=ON,而CM⊥AB,DN⊥AB,
∴Rt△COM≌Rt△DON,
∴∠COM=∠DON,
;(公众号:齐齐课堂)
证法二:如图所示,连接AC、BD、OC、OD,
∵M是AO的中点,且CM⊥AB,
∴AC=OC,
同理BD=OD,又∵OC=OD,
∴AC=BD,.
知识点三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系
;
,就是指它所对的圆心角的度数;
2:.
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(等弧的度数一定相等,而度数相等的弧不一定是等
弧).
知识点四、圆的对称性
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴(任何一条直径所在的直线都
是它的对称轴),圆有无数条对称轴.
知识点五、垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,如图所示:
∵CD是直径,且CD⊥AB,∴EA=EB,.
若一条直线具有以下两个性质:①过圆心;②垂直一条弦;则这条直线具有以下三个性
质:①平分弦;②平分弦所对的优弧;③平分弦所对的劣弧.
圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距.(公众号:齐齐课堂)
例:如图所示,在半径为5的中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP的长为()

【解答】C
【解析】连接OA,如图所示:
3:.
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∵AB⊥OP,
又∵OA=5,,故选C.
巩固练****br/>
,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,=AP=8,则⊙O的直径为()

2.(公众号:齐齐课堂)如图,⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C,若OP⊥AB交⊙O于点P,
则∠PAB的大小为()
°°°°
,在半径为5的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,
则OP的长为()
4:.
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,不正确的是()




5.(公众号:齐齐课堂)如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB
交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠OFE的度数是()
°°°°
,四边形ABCD的外接圆为⊙O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的
度数为()
°°°°
,,
道,连车带货一起最高为多少米()
5:.
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,⊙O的直径CD=20,AB是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为M,若CM=4,则AB的
长为.(公众号:齐齐课堂)
,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,=8,
CD=2,则△OCE的面积为.
,已知点C是⊙O的直径AB上的一点,过点C作弦DE,使CD=
为35°,则的度数是.
⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所对的优弧上的动点,连结AP,过点A作
AP的垂线交射线PB于点C,当△PAB是等腰三角形时,线段BC的长为.
,⊙O的弦AB=8,半径ON交AB于点M,M是AB的中点,且OM=3,则MN的长
为.
6:.
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,已知⊙O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP=.
,水平放置的一个油管的截面为圆形,半径为10cm,如果油面宽AB=16cm,那么
有油部分的最大深度是cm.(公众号:齐齐课堂)

,四边形ABCD中,AB∥CD,点O在BD上,以O为圆心恰好经过A、B、C三点,⊙
O交BD于E,交AD于F,且=,连接OA、OF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AOF=3∠FOE,求∠ABC的度数.
,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,点D是的中点,连接并延长BD、CD,分
别交AC、AB的延长线于点E、F.
7:.
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(1)求证:DF=DE;
(2)若BD=6,CE=8,求⊙O的半径.
,在⊙O中,=,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E.
(1)求证:CD=CE;(公众号:齐齐课堂)
(2)若∠AOB=120°,OA=2,求四边形DOEC的面积.
,MB,MD是⊙O的两条弦,点A,C分别在,上,且AB=CD,M是的中点.
(1)求证:MB=MD;
(2)过O作OE⊥MB于点E,当OE=1,MD=4时,求⊙O的半径.
,⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E.
(1)如图1,若为120°,为50°,求∠E的度数;
(2)如图2,若AB=CD,求证:AE=DE.
8:.
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20.(1)如图1,AB为圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,连结OC,若AB=10,CD=8,
求AE的长.(公众号:齐齐课堂)
(2)如图2,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,求PD的长度.
,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长;
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PE=4
米时,是否要采取紧急措施?
,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD.
9:.
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(1)求证:AD=AN;
(2)若AB=8,ON=1,求⊙O的半径.
,桥拱是圆弧形,跨度(AB)为12米,拱高(CN)为2米,
求:(1)桥拱半径(公众号:齐齐课堂)
(2)若大雨过后,桥下河面宽度(DE)为10米,求水面涨高了多少?
,AB、CD为⊙O的弦,且AB∥CD,连接CO并延长交AB于F,连接DO并延长交AB
于E两点,求证:AE=BF.
10:.
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1.
【解答】A
【解析】连接OC,
∵CD⊥AB,CD=8,
11
∴PC=2CD=2×8=4,
在Rt△OCP中,设OC=x,则OA=x,
∵PC=4,OP=AP﹣OA=8﹣x,
∴OC2=PC2+OP2,
即x2=42+(8﹣x)2,
解得x=5,(公众号:齐齐课堂)
∴⊙O的直径为10.
2.
【解答】A
【解析】连接OB,
∵四边形ABCO是菱形,
∴OA=AB,
∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OP⊥AB,
1
∴∠BOP=2∠AOB=30°,
1
由圆周角定理得,∠PAB=2∠BOP=15°,
11:.
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3.
【解答】C
【解析】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OB,OD,
由垂径定理、勾股定理得:OM=ON=52−42=3,
∵弦AB、CD互相垂直,(公众号:齐齐课堂)
∴∠DPB=90°,
∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形,
∵OM=ON,
∴四边形MONP是正方形,
∴OP=32
4.
【解答】B
【解析】A、根据垂径定理的推论可知,垂直平分弦的直线经过圆心;故本答案正确.
B、直径是最长的弦,任意两条直径互相平分,但不一定互相垂直,故被平分的弦不能是直
径;故本答案错误.
C、如图所示,两弦平行,则圆周角相等,圆周角相等,则弧相等;故本选项正确.
D、根据垂径定理可知,垂直于弦的直径必平分弦所对的弧;故本选项正确.
12:.
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5.
【解答】D
【解析】如图,连接BF,OE.
∵EF=EB,OE=OE,OF=OB,
∴△OEF≌△OEB(SSS),
∴∠OFE=∠OBE,(公众号:齐齐课堂)
∵OE=OB=0F,
∴∠OEF=∠OFE=∠OEB=∠OBE,∠OFB=∠OBF,
1
∵∠ABF=2∠AOF=20°,
∴∠OFB=∠OBE=20°,
∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF=180°,
∴4∠EFO+40°=180°,
∴∠OFE=35°,
6.
【解答】C
【解析】∵BC=CD,
∴=,
∴∠BAC=∠DAC=35°,
∵∠ABD=∠ACD=45°,
∴∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠ABD=180°﹣70°﹣45°=65°.
7.
13:.
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【解答】A
【解析】过O作OE⊥AB于E,如图所示:
则∠OEB=90°,AB=DC=,
1
由垂径定理得:AE=BE=2×=,
在Rt△BEO中,∠BEO=90°,BE=,OB=,由勾股定理得:OE=−=3m,
即连车带货一起最高为3m,(公众号:齐齐课堂)

8.
【解答】16
【解析】连接OA,
∵⊙O的直径CD=20,
∴OA=OC=10,
∵CM=4,
∴OM=10﹣4=6,
在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM=102−62=8,
∴由垂径定理得:AB=2AM=16.
9.
【解答】6
【解析】∵OD⊥AB,
11
∴AC=BC=2AB=2×8=4,
14:.
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设⊙O的半径为r,则AC2+OC2=OA2,即42+(r﹣2)2=r2,解得r=5,
∵CD=2,
∴OC=3,
11
∴S△OCE=2OC•BC=2×3×4=6.
故答案为6.
10.
【解答】105°
【解析】连接OD、OE,
∵的度数为35°,
∴∠AOD=35°,
∵CD=CO,
∴∠ODC=∠AOD=35°,
∵OD=OE,
∴∠ODC=∠E=35°,
∴∠DOE=110°,
∴∠AOE=75°,
∴∠BOE=105°,
∴的度数是105°.
11.
5685
【解答】8或15或3
【解析】①当BA=BP时,
则AB=BP=BC=8,即线段BC的长为8.
1
②当AB=AP时,如图1,延长AO交PB于点D,过点O作OE⊥AB于点E,则AD⊥PB,AE=2AB
=4,(公众号:齐齐课堂)
∴BD=DP,
15:.
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在Rt△AEO中,AE=4,AO=5,
∴OE=3,
∵∠OAE=∠BAD,∠AEO=∠ADB=90°,
∴△AOE∽△ABD,
∴=,
24
∴BD=5,
24
∴BD=PD=5,
48
即PB=5,
∵AB=AP=8,
∴∠ABD=∠P,
∵∠PAC=∠ADB=90°,
∴△ABD∽△CPA,
∴=,
40
∴CP=3,
404856
∴BC=CP﹣BP=−=;
3515
③当PA=PB时,如图2,连接PO并延长,交AB于点F,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线
于点G,连接OB,则PF⊥AB,(公众号:齐齐课堂)
∴AF=FB=4,
在Rt△OFB中,OB=5,FB=4,
∴OF=3,
∴FP=8,
∵∠PAF=∠ABP=∠CBG,∠AFP=∠CGB=90°,
∴△PFB∽△CGB,
∴==2,
设BG=t,则CG=2t,
∵∠PAF=∠ACG,∠AFP=∠AGC=90°,
∴△APF∽△CAG,
16:.
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∴=,
218
∴8+=2,解得t=3,
85
在Rt△BCG中,BC=5t=,
3
5685
综上所述,当△PAB是等腰三角形时,线段BC的长为8或或,
153
12.
【解答】2
【解析】连接OA,
∵M是AB的中点,
∴OM⊥AB,AM=MB=4,
在Rt△AOM中,OA=2+2=42+32=5,
∴MN=ON﹣OM=5﹣3=2,
13.
【解答】62(公众号:齐齐课堂)
【解析】作OE⊥AB交AB与点E,作OF⊥CD交CD于点F,连接OB、OD,如图所示,
17:.
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则AE=BE,CF=DF,∠OFP=∠OEP=90°,
又∵圆O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,
∴∠FPE=90°,OB=10,BE=8,
∴四边形OEPF是矩形,OE=6,
同理可得,OF=6,
∴EP=OF=6,(公众号:齐齐课堂)
∴OP=62+62=62,
故答案为62.
14.
【解答】4
【解析】过点O作OM⊥AB交AB与M,交弧AB于点E;
连接OA,在Rt△OAM中:
1
OA=10cm,AM=2AB=8cm,
根据勾股定理可得OM=6cm,
则油的最大深度ME为4cm.

15.
【解答】(1)见解析;(2)80°
【解析】(1)证明:∵=,
∴∠CBD=∠ABD,
∵CD∥AB,
∴∠ABD=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
∵BE是⊙O的直径,
18:.
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∴=,
∴AB=BC=CD,
∵CD∥AB,
∴四边形ABCD是菱形;.
(2)∵∠AOF=3∠FOE,
设∠FOE=x,则∠AOF=3x,
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x,
∵OA=OF,(公众号:齐齐课堂)
1
∴∠OAF=∠OFA=2(180°﹣3x),
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=2x,
∴∠ABC=4x,
∵BC∥AD,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
1
∴4x+2x+2(180°﹣3x)=180°,
解得:x=20°,
∴∠ABC=4x=80°.
16.
【解答】(1)见解析;(2)35
【解析】(1)证明:连接AD,
∵点D是的中点,
∴∠CAD=∠BAD,
∴CD=BD,
在△CAD和△BAD中,
=
∠=∠,
=
∴△CAD≌△BAD(SAS),
∴∠ACD=∠ABD,
∴∠DCE=∠DBF,
19:.
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在△CED和△BFD中,
∠=∠
=,
∠=∠
∴△CED≌△BFD(ASA),
∴DF=DE;(公众号:齐齐课堂)
(2)∵四边形ABDC是圆内接四边形,
∴∠DBF=∠ACD,
∵∠ACD=∠ABD,
∴∠ABD=∠DBF,
∴∠ABD=90°,
∴∠ECD=∠ABD=90°,
∴AD是⊙O的直径,
∵CD=BD=6,CE=8,
∴DE=2+2=10,
∴EB=10+6=16,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,
设AB=AC=x,则x2+162=(x+8)2,
解得x=12,
∴AB=12,
222
在Rt△ABD中,AB+BD=AD,
∴AD=122+62=65,
∴⊙O的半径为35.
17.
【解答】(1)见解析;(2)3
【解析】(1)证明:连接OC,
20:.
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∵=,
∴∠AOC=∠BOC,又CD⊥OA,CE⊥OB,
∴CD=CE;
(2)∵∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=60°,
∵∠CDO=90°,
∴∠OCD=30°,
1
∴OD=2OC=1,(公众号:齐齐课堂)
∴CD=2−2=22−12=3,
13
∴△OCD的面积=×OD×CD=,
22
13
同理可得,△OCE的面积=×OD×CD=,
22
33
∴四边形DOEC的面积=2+2=3.
18.
【解答】(1)见解析;(2)5
【解析】(1)证明:∵AB=CD,
∴=,
∵M是的中点,
∴=,
∴=,
∴BM=DM.
(2)如图,连接OM.
21:.
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∵DM=BM=4,OE⊥BM,
∴EM=BE=2,(公众号:齐齐课堂)
∵OE=1,∠OEM=90°,
∴OM=2+2=12+22=5,
∴⊙O的半径为5.
19.
【解答】(1)35°;(2)见解析
【解析】(1)连接AC.
∵弧AD为120°,弧BC为50°,
∴∠ACD=60°,∠BAC=25°,
∵∠ACD=∠BAC+∠E
∴∠E=∠ACD﹣∠BAC=60°﹣25°=35°;
(2)证明:连接AD.
∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴弧AC=弧BD,
∴∠ADC=∠DAB,
∴AE=DE.
20.【解答】(1)2;(2)2
【解析】(1)∵AB为圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E.
22:.
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1
∴CE=2CD=4.
在直角△OCE中,OE=2−2=52−42=3.
则AE=OA﹣OE=5﹣3=2;
(2)如图,过点P作PE⊥OB于E,
∵PC∥OA,
∴∠AOP=∠COP,
∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°,
又∵PC=4,(公众号:齐齐课堂)
11
∴PE=2PC=2×4=2,
∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,
∴PD=PE=2.
21.【解答】(1)34米;(2)不需要采取紧急措施
【解析】(1)连结OA,
1
由题意得:AD=2AB=30(米),OD=(r﹣18)
在Rt△ADO中,由勾股定理得:r2=302+(r﹣18)2,
解得,r=34(米);
(2)连结OA′,
∵OE=OP﹣PE=30米,
222222
∴在Rt△A′EO中,由勾股定理得:A′E=A′O﹣OE,即:A′E=34﹣30,
解得:A′E=16(米).
∴A′B′=32(米).
∵A′B′=32>30,
∴不需要采取紧急措施.
23:.
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13
22.【解答】(1)见解析;(2)3
【解析】(1)证明:∵CD⊥AB
∴∠CEB=90°
∴∠C+∠B=90°,
同理∠C+∠CNM=90°
∴∠CNM=∠B
∵∠CNM=∠AND
∴∠AND=∠B,
∵=,
∴∠D=∠B,
∴∠AND=∠D,
∴AN=AD;
(2)设OE的长为x,连接OA
∵AN=AD,CD⊥AB
∴DE=NE=x+1,
∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1,
∴OA=OD=2x+1,
∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2,
∴x2+42=(2x+1)2.(公众号:齐齐课堂)
5
解得x=或x=﹣3(不合题意,舍去),
3
513
∴OA=2x+1=2×3+1=3,
13
即⊙O的半径为3.
24:.
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23.【解答】(1)10m;(2)8m
【解析】(1)∵拱桥的跨度AB=12m,拱高CN=2m,
∴AN=6m,(公众号:齐齐课堂)
利用勾股定理可得:
AO2﹣(OC﹣CN)2=6×6,
解得OA=10(m).
(2)设河水上涨到DE位置,
这时DE=10m,DE∥AB,有OC⊥DE(垂足为M),
1
∴EM=2EF=5m,
连接OE,则有OE=10m,
OM=2−2=53(m)
MC=OC﹣OM=10﹣53(m),
NC﹣CM=2﹣(10﹣53)=53−8(m).
24.【解答】见解析
【解析】证明:过O作OH⊥AB于H,如图所示:
则AH=BH,
∵OC=OD,∴∠C=∠D,∵CD∥AB,
∴∠C=∠OFE,∠D=∠OEF,∴∠OFE=∠OEF,∴OE=OF,
∵OH⊥AB,∴EH=FH,∴AH﹣EH=BH﹣FH,
∴AE=BF.
25