高三数学专题复习精品教案：专题4：三角函数.docx

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高考试题中的三角函数题相比较较传统,地址靠前,平时以简单题形式出现。因此,在复****过程中要特
别侧重三角知识的基础性,突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质,以及
化简、求值和最值等重点内容的复****要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形,同时要侧重三角知
,三角函数与向量联系问题有所增加,三角知识在几何及实责问题中的应用也是观察重点,
应给于充分的重视。
一、知识整合
,理解每个公式的意义,应用特点,老例使用方法等;熟悉三角变换
常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;
掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实责问题.
、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练
掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数yAsin(x)
的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
、向量、几何及实责问题中的应用,能利用三角函数相关知识解决综合问题.
二、典型例题解析


AOB的中心角为

2

,半径为

r

,在扇形

AOB中作内切圆

O1及与圆

O1外切,与

OA,OB

相切
的圆

O2,问

sin

为何值时,圆

O2的面积最大?最大值是多少?
解:设圆O1及与圆O2的半径分别为r1,r2,
(r
r1)sin
r1
rsin
r1
sin
则
,得
1
,
(r1
r2)cos(
2
)r1r2
r1(1
sin
)
r2
1
sin
∴r2
r1(1
sin
)
rsin
(1
sin)
,
1
sin
(1
sin
)2
∵0
2
2
,∴0
,令t
sin
1(1t
2),
r2
t2
3t
2
2(1
3)2
1
,当
1
3
,即sin
1
时,
t2
t
4
8
t
4
3
圆O2的半径最大,圆
O2的面积最大,最大面积为
64
.
例2、(05
天津)已知sin(
)
7
2,cos2
7
,求sin
及tan(
).
4
10
25
3
【解析】解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得
72
sin(
4
)
2(sin
cos
),即sin
cos
7
①
10
2
5
由题设条件,应用二倍角余弦公式得
7
cos2
cos2
sin2
(cos
sin
)(cos
sin
)
7(cos
sin)
25
1
5
故cos
sin
②
5
3
4
由①和②式得sin
,cos
5
5
3
因此,tan
,由两角和的正切公式
4
tan
3
3
3
4
3
3
48
25
3
tan(
)
4
1
3tan
3
3
4
3
3
11
3
1
4
解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得
7
cos2
1
2sin2
,
9
3
25
解得
sin2
,即sin
25
5
由sin(
)
7
2
可得sin
cos
7
10
5
4
由于sin
7
cos
0,且cos
sin
7
0
,故
在第二象限于是sin
3
5
5
,
7
4
5
从而cos
sin
5
5
以下同解法一
【议论】1、本题以三角函数的求值问题观察三角变换能力和运算能力,
可从已知角和所求角的内在联系
(均
含)进行变换获取.
2、在求三角函数值时,必定灵便应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的状况.
例3:设0<θ<,曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同样的交点.
2
(1)求θ的取值范围;
(2)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.
x2
sin
y2cos
1
x2
sin
cos
解:(1)解方程组
cos
y2sin
1
,得
cos
sin
x2
y2
sin
cos
0
0<θ<.
故两条已知曲线有四个不同样的交点的充要条件为
cos
sin
,(0<θ<
)
0
2
4
(2)设四个交点的坐标为(
xi,yi)(i=1,2,3,4),
则:xi2+yi2=2cosθ∈(
2,2)(i=1,2,3,4).
故四个交点共圆,并且这个圆的半径
r=
2cosθ∈(4
2,
2).
评注:本题侧重观察应用解方程组法办理曲线交点问题,这也是曲线与方程的基本方法,同时本题也突
出了对三角不等关系的观察.
例4:设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0,2π)内有相异二解α、β.
(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.
解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(1
2

3
cosx)=2sin(x+),
sinx+
2
3
∴方程化为sin(x+
)=-a.
3
2
∵方程sinx+
3cosx+a=0
在(0,2π)内有相异二解,
∴sin(x+
)≠sin
=
3
.
2
3
3
又sin(x+)≠±1
(∵当等于
3和±1时仅有一解),
3
2
∴|-a|<1.
且-
a≠
3
.即|a|<2
2
2
2
且a≠-
3.
∴
a的取值范围是(-2,-
3)∪(-3,2).
(Ⅱ)∵α、β是方程的相异解,∴sinα+
3cosα+a=0①.
sinβ+
3cosβ+a=0
②.
①-②得(sinα-sinβ)+
3
(cosα-cosβ)=0.
∴2sin
2
cos
2
-2
3sin
2
sin
=0,
又sin
≠
0,∴tan
=
3
.
2223
2tan
∴tan(α+β)=
2=3.
2
tan2
2
【议论】要注意三角函数实根个数与一般方程的差异,这里不能够忘记
(0,2
π)这一条件.
例5
已知函数f
x
2sin
x
0,0
的最小正周期为
,其图像过点
,1.
4
(Ⅰ)
求
和
的值;(Ⅱ)函数fx的图像可由y
sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换而获取
?
解:(Ⅰ)
Q函数f
x
2sin
x
的最小正周期为
,
2
.
2
.
fx
2sin2x
.
Qf
x
,1
,2sin
1,
cos
1
的图像过点
即
2.
4
2
Q0
,
.
3
(Ⅱ)先把y
sin2x的图像上所有点向左平移
个单位(纵坐标不变),获取函数y
sin2x
的图像,
6
3
再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的
2
倍(横坐标不变)获取函数f
x的图像.
【议论】三角函数图像及其变换是当前观察热点,其书写的规范性是考生必定高度重视的.
例6、(2007
年湖南卷文
16)
已知函数f(x)
12sin2
x
π
2sinx
πcosx
:
8
8
8
函数f(x)的最小正周期;
函数f(x)的单调增区间.
解:f(x)cos(2x
π
sin(2x
π
)
)
4
4
ππ
2sin(2x
π
2cos2x.
2sin(2x
)
)
4
4
2
(I)函数f(x)的最小正周期是T
2ππ;
2
(II)当2kππ≤2x≤
2kπ,即
k
≤x≤kπk
Z
)时,函数
f(x)2cos2x是增函数,故函
π
π
(
2
数f(x)的单调递加区间是
[kπ
π
Z).
2
,kπ](k
【议论】本题主要观察三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力.
例7、已知:2f
x
3
sinx
cosx
2
2x
(13),x
R
2cos
(1)请说明函数yf(x)的图象可由函数ysin2x的图象经过怎样的变换获取;
(2)设函数yf(x)图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、、An、(nN),
试求A4的坐标。
解:(1)Q2fx3(12sinxcosx)cos2x33sin2xcos2x
∴f(x)

3sin2x
2

1cos2x
2

cos

6

sin2x

sin

6

cos2x
sin2x
sin2x
12
6
因此函数y
f(x)的图象可由函数ysin2x的图象向左平移
个单位获取
12
(2)∵函数y
sinx图象的对称中心为
(k,0),k
Z
由2x
k,k
Z得函数y
f(x)的对称中心为(k
,0),
6
2
12
依次取1,2,3,4可得A1、A2、A3、A4各点,
23
∴A4的坐标为(,0)
例8、如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,=a,∠ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为
S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,
变化时,求S1
取最小值时的角
S2
解(1)∵AC
asin,AB
acos.
∴S1
1
a2sin
cos
1
a2
sin2.
2
4
设正方形边长为
x.
则BQ=xctg,RC
xtg
xctg
x
xtg
a.
x
a
asin
cos
asin2
ctg
tg
1
1sin
cos
2
sin2
asin2
2
2
S2
(
2
asin
2
.
)
4
sin22
4sin2
2sin2
(2)当a固定,
变化时,S1
1a2sin2
(1
1sin2
)
2
4
4
2
1
(
sin24).
S2
1
2
sin2
4
sin2
a
sin2
4
1sin2
(1
)2
2
令sin2
t,则S1
1(t
4
4).
S2
4
t
0
,
0
t
1.
令f(t)
t
4
任取t1
,t2
(0,1],且t1
t2,
t
2
f(t1)
f(t2)t1
t2
4
4
(t1
t2)
4(t1
t2)
(t1
t2)((t1t24)).
t1
t2
t1t2
t1t2
t1
t2
0,0t1t2
1,t1t2
4
0,
f(t1)
f(t2)
0,
f(t)
t
4在(0,1]是减函数.
t
1时,
S1
取最小值,此时
.
t
S2
4
三、方法总结与2008年高考展望
。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2x+sin2x=tanx·cotx=tan45°等。
2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;
配凑角:α=(α+β)-β,β=
-
2
等。
2
(3
)升幂与降幂。
(4
)化弦(切)法。
(5
)引入辅助角。asinθ+bcosθ=
a2
b2
sin(θ+),这里辅助角
所在象限由a、b的符号确定,
角的值由tan
=b确定。
a
。
1)思路:利用三角公式进行假名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
2)证明方法:综合法、解析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
:比较法、配方法、反证法、解析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数
的有界性,利用单位圆三角函数线及鉴识法等。
。
1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异解析”。
2)搜寻联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
3)合理转变:选择适合的公式,促使差其余转变。
.高考考点解析
2005-207年各地高考中本部分所占分值在14~20分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要观察
内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:
第一层次:经过引诱公式和倍角公式的简单运用,解决相关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求
值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次:充分利用三角函数作为一种特别函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特别性质,
解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。

一、选择题:
1
.(2007
年全国高考题)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是
(
)
π
π




2
.若cos
0,且sin2
0,则角
的终边所在象限是
(
)




3
.已知函数ysin(x
)cos(x
12
),则以下判断正确的选项是(
)
12
A)此函数的最小正周期为2
B)此函数的最小正周期为
C)此函数的最小正周期为2
D)此函数的最小正周期为

,其图象的一个对称中心是
,其图象的一个对称中心是
,其图象的一个对称中心是
,其图象的一个对称中心是

(,0)
12
(,0)
12
(,0)
6
(,0)
6
4
.在△OAB中,O为坐标原点,A(1,cos
),B(sin,1),
(0,],则当△OAB的面积达最大值时,
(
)
2
A.
B.
C.
D.
2
6
4
3
5
.函数yAsin(x
)(0,
,xR)的部分图像以下列图,则函数表达式为
2
(
)
(A)
(B)

y
4sin(
x
4
)
y
8
y
4sin(
x
)
4
8
4
(C)
(D)

y
4sin(
x
)
-2
O
x
8
4
6
y
4sin(
x
)
-4
8
4

f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间
t(时)的函数,其中0t

0时至24
时记录的时间t与水深y的关系:
t03691215182124

经长远观察看,函数yf(t)的图象能够近似地看作函数ykAsin(t)
中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()
(A)y
12
3sin
t,t
[0,24]
(B)
6
(C)y
12
3sin
t,t
[0,24]
(D)
12

y
12
3sin(
t
),t[0,24]
6
y
12
3sin(
t
),t[0,24]
12
2
(2x)的图象先向左平移,尔后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵
36
坐标不变),则所获取的图象对应的函数解析式为().

cosx

sin4x
C.
y
sin(x
)

sinx
6
<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是(
)
(A)1
(B)-1
(C)2k+1
(D)-2k+1

sin
x(ω>0)在区间[0,1]最少出现2次最大值,则ω的最小值为(
)




2
4
2
△ABC
中,sinA=4,cosB=
12
,则cosC
等于
(
)
5
13

B.
16
C.
56
16
D.
33
65
或
65
65
65
65

x
1
cos2x8sin2
x
(
)
时,函数f(x)
sin2x
的最小值为
2
(A)2
(B)23
(C)4
(D)43
△OAB中,O为坐标原点,A(1,cos
),B(sin
,1),
(0,
],则当△OAB的面积达最大值时,( )
2
A.
6
B.
C.
3
D.
2
4
二、填空题:

7
,∈(0,π),则tan
=
。
-cos
5

cos
1
sin
范围
。
,则cos
2
以下命题正确的有_________。
①若-<<<,则范围为(-π,π);
22
②若在第一象限,则在一、三象限;
2
③若sin
=m
3,cos
4
2m
,则m∈(3,9);
m
5
m5
④sin=3,cos
=
4
,则
在一象限。
2
5
2
5
,一个半径为
10米的水轮按逆时针方向每分钟转4

P到水面的距离为
d米(P
在水面下则d
为负数),则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式:
d
Asin(
t
)
k(A0,
0,
2
),且当P点从水面上浮现时开始计算时间.
有以下四个结论:
2
①A=10;②
2
;③
6
;
④k=
.
15
三、解答题:
:
sin50(1
3tan10).

3
cos(
)
12
sin(
)
3
sin2
2
4
,
13
,
,求
的值.
5
(x)
sin(2x
)
(
0),y
f(x)图像的一条对称轴是直线
x
。
8
(Ⅰ)求
;(Ⅱ)求函数
y
f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)画出函数
y
f(x)在区间[0,
]上的图像。

,,其平板面的矩形宽为
1米,问要想顺利推
过直角走廊,平板车的长度不能够高出多少米?
21.
在△ABC中,已知角A为锐角,且
[cos(
2A)
1]sin(
A
)sin(
A
2
)
f(A)
2
2
2
sin2(
A)
sin2(
A)
cosA.
2
2
2
(Ⅰ)求f(A)的最大值;
(Ⅱ)若A
B
7
,f(A)
1,BC2,求△ABC的三个内角和AC边的长.
12
22.
设函数f(x)
2cos2x
sin2x
a(a
R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递加区间;
(Ⅱ)当x
[0,
]时,f(x)的最大值为
2,求a的值,并求出yf(x)(x
R)的对称轴方程.
6

f
( )
a
sin2
xb
sin2
(
)的图象过点
P
(
0
,),且
f(x)的最大值是
,最小值为
x
xc
xR
1
2
2,其中a0.
1)求f(x)表达式;