高三数学第二轮复习教案第8讲导数应用的题型与方法(一)讲义.docx

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第8讲导数应用的题型与方法(一)
一、考试内容
导数的看法,导数的几何意义,几种常有函数的导数
两个函数的和、差、积、商的导数,复合函数的导数,基本导数公式,利用导数研究函数的
单调性和极值,函数的最大值和最小值
二、考试要求
(1)认识导数看法的某些实质背景(如瞬时速度、加速度、圆滑曲线切线的斜率等)数的定义和导数的几何意义,理解导函数的看法。

,掌握函数在一点处的导
(2)熟记基本导数公式(

c,xm

(m为有理数),sinx,cosx,e

x

,a

x

,lnx,loga

x的导数)。掌握两个函数四则运算
的求导法规和复合函数的求导法规,会求某些简单函数的导数。
3)认识可导函数的单调性与其导数的关系,认识可导函数在某点获取极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实责问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
三、复****目标
,能利用导数定义求导数,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,,在认识瞬时速度的基础上抽象出变化率的看法。
(c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数)。掌握两个函数四则运算的
求导法规和复合函数的求导法规,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用。
、差、积的求导法规的推导,掌握两个函数的商的求导法规。能正确运用函数的和、差、积的求导法规及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法规,
并会用法规解决一些简单问题。
四、双基***
导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实责问题的有力工具。在高中阶段关于导数的学****主若是以下几个方面:
:
1)刻画函数(比初等方法精确细微);
2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);
3)应用问题(初等方法经常技巧性要求较高,而导数方法显得简略)等关于n次多项式的导数问题属于较难
种类。
,最值问题很多,因此有必要专项谈论,导数法求最值要比初等方法快捷简略。
,也是高考中察看综合能力的一个方向,应引起注意。

在初中学过圆的切线,直线和圆有独一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,独一的公共点
,能不能够将圆的切线的看法实行为一段曲线的切线,即直线和曲线有独一公共点时,
直线叫做曲线过该点的切线,—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=
l1与曲线C有独一公共点M,但我们不能够说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不仅一个公共点,我们
,关于一般的曲线,.

在高一物理学****直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中第一指出:运动物体经过某一时刻(或某一地址)的速度叫做瞬时速度,尔后从实质测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明,物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度。

导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法规与某些导数公式时,都是以此为依照。
对导数的定义,我们应注意以下三点:
(1)△x是自变量x在x0处的增量(或改变量).
(2)导数定义中还包含了可导或可微的看法,若是
△x→0时,
y有极限,那么函数
y=f(x)在点x0处可导或
x
可微,才能获取f(x)在点x0处的导数.
3)若是函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不用然成立,比方函数y=|x|在点x=0处连续,但不能导。
由导数定义求导数,是求导数的基本方法,必定严格按以下三个步骤进行:
(1)求函数的增量
y
f(x0
x)
f(x0);
(2)求平均变化率
y
f(x0
x)
f(x0)
x
x
;
(3)取极限,得导数
f'(x0)
lim
y。
x0
x

函数y=f(x)在点x0
处的导数,就是曲线
y=(x)在点P(x0,f(x0)),能够利用导数求
:
(1)求出函数y=f(x)在点x0
处的导数,即曲线
y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为yy0f'(x0)(xx0)
特别地,若是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴,这时导数不存,依照切线定义,可得切线
方程为x
x0
(或差)的导数
上一节我们学****了常有函数的导数公式,那么关于函数
f(x)
x3
x2的导数,又如何求呢?我们不如先利用
导数的定义来求。
f'(x)
lim
f(x
x)
f(x)
lim
(x
x)3
(x
x)2
(x3
x2)
x0
x
x
0
x
lim
3x2
x
3x(x)2
(
x)3
2x
x(
x)2
x
0
x
lim(3x2
2x
3x
x
(
x)2
x)
x
0
3x2
2x
我们不难发现(x3
x2)'
3x2
2x
(x3)'(x2)',即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。
由此我们猜想在一般情况下结论成立。事实上教材中证了然我们的猜想,这就是两个函数的和(或差)的求导法规。

两个函数的积的求导法规的证明是本节的一个难点,证明过程中变形的重点是依照导数定义的结构形式。过程见课本P120)

(详尽
说明:
1)(uv)'u'v';
2)若c为常数,则(cu)′=cu′。

两个函数的商的求导法规,课本中未加证明,只要求记住并能运用就可以。现补充证明以下:
设yf(x)

u(x)
v(x)
u(x
x)
u(x)u(xx)v(x)
u(x)v(x
x)
y
x)
v(x)
v(x
x)v(x)
v(x
u(x
x)
u(x)v(x)
u(x)v(x
x)
v(x)
v(x
x)v(x)
u(x
x)u(x)v(x)u(x)v(x
x)v(x)
y
x
x
x
v(x
x)v(x)
因为v(x)在点x处可导,因此它在点x处连续,于是△x→0时,v(x+△x)→v(x),进而
lim
yu'(x)v(x)
u(x)v'(x)
即y'
u
u'v
uv'
2
'
2
。
x0
x
v(x)
v
v
说明:(1)
u'
u';
(2)u'
u'v
uv'
v
v'
v
v2
学****了函数的和、差、积、商的求导法规后,由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算获取的简单的函数,均可利用求导法规与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求。
导数与函数的单调性的关系
(一)f(x)0与f(x)为增函数的关系。
f(x)0能推出f(x)为增函数,但反之不用然。如函数f(x)x3在(,)上单调递加,但f(x)0,∴
(x)0是f(x)为增函数的充分不用要条件。
(二)f(x)0时,f(x)0与f(x)为增函数的关系。
若将f(x)0的根作为分界点,因为规定f(x)0,即抠去了分界点,此时f(x)为增函数,就必然有
f(x)0。∴当f(x)0时,f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。
(三)f(x)0与f(x)为增函数的关系。
f(x)为增函数,必然能够推出
f(x)0,但反之不用然,因为f
(x)0,即为f(x)0或f(x)0。当函
数在某个区间内恒有
f(x)0,则f(x)为常数,函数不拥有单调性。∴
f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分
条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们必然要掌握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,防备谈论以上问题,也简化了问题。但在实质应用中还会遇到端点的谈论问题,要谨慎办理。
(四)单调区间的求解过程,已知yf(x)
(1)解析yf(x)的定义域;
(2)求导数yf(x)
3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为增区间
4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为减区间
我们在应用导数判断函数的单调性时必然要搞清以下三个关系,才能正确无误地判断函数的单调性。以下以增函数
为例作简单的解析,前提条件都是函数yf(x)在某个区间内可导。
(五)函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依照是函数f(x)在(a,b)单调递加,在(b,c)单调递加,又知函数在f(x)b处连续,
因此f(x)在(a,c)单调递加。同理减区间的合并也是这样,即相邻区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则
二区间就可以合并为以个区间。
(x)x[a,b]
(1)f(x)
0恒成立
∴y
f(x)为(a,b)上
∴对任意x
(a,b)
不等式
f(a)
f(x)
f(b)恒成立
(2)f(x)
0恒成立
∴y
f(x)在(a,b)上
∴对任意x
(a,b)不等式
f(a)
f(x)
f(b)
恒成立
y=f(μ),μ=f(x);尔后将已知函数对中间变
五、注意事项

.
复合函数的求导法规是微积分中的重点与难点内容。课本中先经过实例,引出复合函数的求导法规,接下来对法规进行了证明。
关于复合函数,以前我们可是见过,没有特地定义和介绍过它,课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义,使我们对复合函数的的看法有一个初步的认识,再结合今后的例题****题就可以渐渐认识复合函数的看法。
,必定做到以下两点:
1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法规,复合函数的求导法规。
2)关于一个复合函数,必然要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中对付哪个变量求导。
,一般按以下三个步骤进行:
1)适当选定中间变量,正确分解复合关系;
2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);
3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
也就是说,第一,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系
量求导(y'),中间变量对自变量求导('x);最后求y''x,并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简
记为分解——求导——回代。熟练今后,能够省略中间过程。若遇多重复合,能够相应地多次用中间变量。