北师版数学九年级下册 第二章 二次函数 单元测试.pdf

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北师版数学九年级下册第二章二次函数单元测试
一、单选题
,y是x的二次函数的是()
22222
+x=+y-2=-ax=--y+1=0
2.(公众号:齐齐课堂)抛物线yx23与y轴的交点坐标为()
A.(3,0)B.(0,3)C.(0,3)D.(3,0)
=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()
0,x22,x26
35
,x24,x20
22
,在平面直角坐标系中抛物线y=(x+1)(x﹣3)与x轴相交于A、B两点,若在抛物线上有且只有
三个不同的点C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m,则m的值是()

2
5.(公众号:齐齐课堂)函数y=x+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为()

1215
x7x,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值
22
y1,y2,y3的大小关系正确的是()
1:.
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>y2><y2<>y3><y3<y1
3x2先向左平移一个单位,再向上平移两个单位,两次平移后得到的抛物线解析式为()
3(x1)23(x1)23(x1)23(x1)22
2
=ax+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表:
X……﹣10123……
Y……30﹣103
①物线y=ax2+bx+c的开口向下;
②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1;
③方程ax2+bx+c=0的根为0和2;
④当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2
以上结论中其中的是()
A.①④B.②④C.②③D.③④
9.(公众号:齐齐课堂)如图所示,某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距
离地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6m,则校门的高约为(,
水泥建筑物的厚度忽略不计)()

10.(公众号:齐齐课堂)2011年5月22日—
12
比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-x+bx+c的一部分(如图),其中出球点B离地面
4
O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式是()
123123
xxxx1
4444
123123
xxxx1
4444
2:.
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二、填空题
=2-3x2的图象,开口方向是________,对称轴是________,顶点坐标是_________.
=﹣x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式为______.
22
13.(公众号:齐齐课堂)如果抛物线y=(m+1)2x+x+m﹣1经过原点,那么m的值等于____.
2
=ax+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分
图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数
.
15.(公众号:齐齐课堂)如图,P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,
垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为________.
,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,
某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x
22810
(米)之间满足关系yxx,则羽毛球飞出的水平距离为米.
999
三、解答题
17.(公众号:齐齐课堂)如图,已知二次函数yax2bxc的图像经过点A(1,0),C(0,3),且对称
1
轴为直线x2,一次函数y2mxn的图像经过A,B两点.
3:.
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(1)求二次函数的解析式;
(2)若点B,C关于抛物线的对称轴对称,根据图像直接写出满足y1y2时x的取值范围.
,成本为每千克40元,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500
千克;销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请回答下列问题:
(1)当销售单价为每千克55元时,计算销售量和月利润.(公众号:齐齐课堂)
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式.
(3)销售单价定为多少元时,获得的利润最多?
(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
yaxbx3a
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,-m-1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BD,问在x轴上是否存在点P,使PCBCBD,若存在,请求出P点的
坐标;若不存在,请说明理由.
,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(﹣3,0),与y轴交于C.
(1)求该抛物线的解析式,并写出抛物线的对称轴;(公众号:齐齐课堂)
10
(2)设抛物线的对称轴交x轴于D,在对称轴左侧的抛物线上有一点E,使S△ACE=SACD,求点E的坐标;
3
4
(3)若P是直线y=x+1上的一点,P点的横坐标为,M是第二象限抛物线上的一点,当∠MPD=∠ADC
3
时,求M点的坐标.
4:.
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:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k的关联直线.
(1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线;(公众号:齐齐课堂)
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式;
(3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左
侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、△ABC为直角三角形时,求a的值.
5:.
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一、1.【答案】B
【解析】试题解析:由二次函数的定义,y可以化为关于x的最高次数为2次的整式方程,B项可化为
yx22,故选B.
2.【答案】B
【解析】【分析】把x=0代入解析式求出y,根据y轴上点的坐标特征解答即可.
【详解】当x=0时,y=3,
则抛物线y=x2+3与y轴交点的坐标为(0,3),故选B.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键.
3.【答案】A
212
【分析】二次函数y=ax+1的图象经过点(-2,0),得到4a+1=0,求得a=-,代入方程a(x-2)+1=0即
4
可得到结论.(公众号:齐齐课堂)
【详解】解:∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),
∴4a+1=0,
1
∴a=-,
4
212
∴方程a(x-2)+1=0为:方程-(x-2)+1=0,
4
解得:x1=0,x2=4,故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题,二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程的解,正
确的理解题意是解题的关键.
4.【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标,再根据在抛物线上
有且只有三个不同的点C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m,可知其中一点一定在顶点
处,从而可以求得m的值.(公众号:齐齐课堂)
【详解】∵抛物线y=(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点,
-1+3
∴点A(-1,0),点B(3,0),该抛物线的对称轴是直线x==1,
2
∴AB=3-(-1)=4,该抛物线顶点的纵坐标是:y=(1+1)×(1-3)=-4,
∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m,
6:.
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44
∴m==8,故选B.
2
【点睛】(公众号:齐齐课堂)本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的
关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
5.【答案】B
【解析】分析:∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,∴b2﹣4c<0;故①错误.
当x=1时,y=1+b+c=1,故②错误.
∵当x=3时,y=9+3b+c=3,∴3b+c+6=③正确.
∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,
∴x2+bx+c<x,∴x2+(b﹣1)x+c<④正确.
综上所述,正确的结论有③④两个,故选B.
6.【答案】A
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系,判断y1、y2、y3的大小关系:
1215
【详解】∵二次函数yx7x,
22
b7
x===7
∴此函数的对称轴为:2a1.
2
2
∵-7<0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0,
∴对称轴右侧y随x的增大而减小.
∴y1>y2>:A
7.【答案】A
【分析】(公众号:齐齐课堂)按照“左加右减,上加下减”的规律,进而得出平移后抛物线的解析式即可.
22
【详解】抛物线y3x先向左平移1个单位得到解析式:y3x1,再向上平移2个单位得到抛物线
2
的解析式为:y3x1:A.
【点睛】此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.
8.【答案】D
【解析】【分析】根据表格可知x=1是抛物线对称轴,此时有最小值,与x轴交点坐标为(0,0)(2,0)据
此可判断①②③,根据与x轴交点坐标结合开口方向可判断④.
7:.
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【详解】解:从表格可以看出,函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,﹣1),
函数与x轴的交点为(0,0)、(2,0),
①物线y=ax2+bx+,错误;
2
②抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,错误;
2
③方程ax+bx+c=0的根为0和2,正确;
④当y>0时,x的取值范围是x<0或x>2,:D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,解题关键是能够根据表格得到有用信息.
9.【答案】B
【解析】【分析】由题意可知,以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,抛物线
过(0,0)、(8,0)、(1、4)、(7、4),运用待定系数法求出解析式后,求函数值的最大值即可.
【详解】解:以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,
则抛物线过O(0,0)、E(8,0)、A(1、4)、B(7、4)四点,
2
设该抛物线解析式为:y=ax+bx+c,
4
a=
c=07

32
则64a+8b+c=0,解得:b=.
7
a+b+c=4
c=0


4232
故函数解析式为:y=-x+x.
77
6412864
当x=4时,可得y=-+=≈,故选B.
777
【点睛】(公众号:齐齐课堂)本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型,借助
二次函数解决实际问题,注意根据线段长度得出各点的坐标.
10.【答案】A
【详解】解:∵出球点B离地面O点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,
8:.
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∴B点的坐标为:(0,1),A点坐标为(4,0),
1c
将两点代入解析式得:,
044bc
3
b
解得:4,
c1

123
∴这条抛物线的解析式是:y=xx1故选A.
44
二、11.【答案】向下y轴(0,2)
【解析】把抛物线化为顶点式即可判断.
【详解】y=2-3x2=-3x2+2,
∵a,
∴开口方向向下
对称轴x=-=0,顶点坐标为(0,2).
【点睛】此题主要考察抛物线的图像,准确根据公式解答即可.
12.【答案】y=﹣(x+1)2+5.
【解析】(公众号:齐齐课堂)直接利用配方法表示出顶点式即可.
2
【详解】解:∵y=-x-2x+4
2
=-(x+2x)+4
=-(x+1)2+5.
故答案为:y=-(x+1)2+5.
【点睛】此题主要考查二次函数的三种形式,正确配方法是解题关键.
13.【答案】1.
【分析】先把原点坐标代入解析式得到m=1或m=-1,然后利用二次函数的定义确定满足条件的m的值.
2
【详解】解:把(0,0)代入得m-1=0,解得m1=1,m2=-1.(公众号:齐齐课堂)
而m+1≠0,
所以m=1.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:
查了二次函数的定义,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
14.【答案】②③④
9:.
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【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1,
则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,
b
则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=-=-1得b=2a,所
2a
2
以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax+bx+c=2,
所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
【详解】∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,所以①错误;
∵顶点为D(−1,2),
∴抛物线的对称轴为直线x=−1,
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,
∴当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,所以②正确
∵抛物线的顶点为D(−1,2),
∴a−b+c=2,
b
∵抛物线的对称轴为直线x=−=−1,
2a
∴b=2a,
∴a−2a+c=2,即c−a=2,所以③正确;
∵当x=−1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=−1时,ax2+bx+c=2,
∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根,所以④正确
【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系,解题关键在于掌握二次函数与x轴交点的意义.
15.【答案】6
2
【分析】(公众号:齐齐课堂)设P(x,y)(2>x>0,y>0),根据矩形的周长公式得到C=-2(x-1)+
据二次函数的性质来求最值即可.
【详解】解:∵y=﹣x2+x+2,
∴当y=0时,﹣x2+x+2=0即﹣(x﹣2)(x+1)=0,
解得x=2或x=﹣1
10:.
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故设P(x,y)(2>x>0,y>0),
∴C=2(x+y)=2(x﹣x2+x+2)=﹣2(x﹣1)2+6.
∴当x=1时,C最大值=6.
即:四边形OAPB周长的最大值为6.
【点睛】(x,y)(2>x>0,y>0),
根据矩形的周长公式得到C=﹣2(x﹣1)2+.
16.【答案】5
【分析】试题分析:根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可.
22810
【详解】当y=0时,xx0,
999
解得:x1=﹣1(舍),x2=5.
∴羽毛球飞出的水平距离为5米.
三、
17.【答案】(1)yx24x3;(2)x4或x1
【解析】【分析】(1)(公众号:齐齐课堂)利用待定系数法,把问题转化为方程组解决即可.
(2)根据函数图象,二次函数图象在一次函数图象的上方,注意等于号.
【详解】

abc0a1

解:(1)由题意c3,解得b4,
bc3
2
2a
∴二次函数的解析式为yx24x3(顶点式、交点式、一般式均可)
(2)根据题意得,B点坐标为(-4,3),A点坐标为(-1,0),观察图像可知,y1≥y2时,x4或x1
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法等知识,解题的关键是熟练掌握待定系
数法确定函数解析式,学会利用图象根据条件确定自变量的取值范围.
18.【答案】(1)450千克,6750元;(2)y=-10x2+1400x-40000;(3)销售单价定为70元时,获得的利
润最多是9000元.(公众号:齐齐课堂)
【解析】【分析】(1)根据已知条件知销售单价价涨了5元,则月销售量减少10千克,则可计算出
月销售量与月利润;
11:.
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(2)当销售单价为每千克x元时,则每千克利润为(x-40)元,月销售量为[500-10(x-50)]件,故月销
售利润为y=每千克利润月销售量=(x-40)[500-10(x-50)]化简即可;
(3)由(2)得y=-10x2+1400x-40000,求得其顶点坐标,即可解出.
【详解】(1)由已知条件得销售单价涨了55-50=5(元),
∴月销售量为500-10=450(千克),
月利润为450(55-40)=6750(元),
(2)根据题意得y=(x-40)[500-10(x-50)]
=-10x2+1400x-40000(x)
22
(3)y=-10x+1400x-40000=-10(x-70)+9000,
故销售单价为70时,最大利润为9000元.
【点睛】此题主要考察二次函数的应用,根据题意找出等量关系是解题的关键.
19.【答案】(1)2(2)(0,-1)(3)(1,0)(9,0)
yx2x3
【解析】【分析】(1)将A(−1,0)、C(0,−3)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx−3a中,列方程组求a、b
的值即可;(公众号:齐齐课堂)
(2)将点D(m,−m−1)代入(1)中的抛物线解析式,求m的值,再根据对称性求点D关于直线BC对称
的点D'的坐标;
(3)分两种情形①过点C作CP∥BD,交x轴于P,则∠PCB=∠CBD,②连接BD′,过点C作CP′∥BD′,
交x轴于P′,分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题.
【详解】解:(1)将A(−1,0)、C(0,−3)代入抛物线y=ax2+bx−3a中,
ab3a0a1
得,解得
3a3b2
2
∴y=x−2x−3;
2
(2)将点D(m,−m−1)代入y=x−2x−3中,得
m22m3=m1,
−−−−
解得m=2或−1,
∵点D(m,−m−1)在第四象限,
∴D(2,−3),
12:.
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∵直线BC解析式为y=x−3,
∴∠BCD=∠BCO=45°,CD′=CD=2,OD′=3−2=1,
∴点D关于直线BC对称的点D'(0,−1);
(3).
①过点C作CP∥BD,交x轴于P,则∠PCB=∠CBD,
∵直线BD解析式为y=3x−9,
∵直线CP过点C,
∴直线CP的解析式为y=3x−3,
∴点P坐标(1,0),
②连接BD′,过点C作CP′∥BD′,交x轴于P′,
∴∠P′CB=∠D′BC,
根据对称性可知∠D′BC=∠CBD,
∴∠P′CB=∠CBD,
1
∵直线BD′的解析式为yx1
3
∵直线CP′过点C,
1
∴直线CP′解析式为yx3,
3
∴P′坐标为(9,0),
综上所述,满足条件的点P坐标为(1,0)或(9,0).
【点睛】,根据抛物线的对称性,直
线BC的特殊性求点的坐标,学会分类讨论,不能漏解.
20.【答案】(1)y=x2+2x﹣3.(2)E(﹣4,5).(3)M(﹣4,5)
【分析】(1)根据待定系数法确定二次函数的解析式即可;
21
(2)根据E点在抛物线上,设E(m,m+2m﹣3),再结合已知条件,利用三角形的面积计算公式S=底
2
13:.
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高,从而解得m的值;
(3)首先过点D作DN⊥DP,交PM的延长线与点N,过点N作NL⊥x轴,过点P作PE⊥x轴,再利用已知
条件证明△NPD∽△CDO,同时证明△NLD∽△DEP,因此得到N点坐标,N点在一次函数上,可以得到一次函
数的解析式,根据M点是一次函数和二次函数的交点,联立方程组,解得M点的坐标,已知M点在第二象
限上删去不符合条件的M点的坐标.(公众号:齐齐课堂)
【详解】解:(1)∵A(1,0),B(﹣3,0)关于直线x=﹣1对称,
∴抛物线的对称轴为x=﹣1.
抛物线的解析式为y=(x﹣1)(x+3)=x2+2x﹣3.
(2)设点E(m,m2+2m﹣3).
∵AD=2,OC=3,
∴S△ACD=×AD•OC=3.
∵S△ACE=,
∴S△ACE=10.
设直线AE的解析式为y=kx﹣:,解得:.
∴直线AE的解析式为y=(m+3)x﹣m﹣3.
∴F(0,﹣m﹣3).
∵C(0,﹣3),
∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m.
∴S△EAC=×FC×(1﹣m)=10,即﹣m(1﹣m)=20,解得:m=﹣4或m=5(舍去).
∴E(﹣4,5).
(3)如图所示:
14:.
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过点D作DN⊥DP,交PM的延长线与点N,过点N作NL⊥x轴,垂足为L,过点P作PE⊥x轴,垂足为E.
∵∠MPD=∠ADC,∠NDP=∠DOC,
∴△NPD∽△CDO.
∴=,
∴==3.
又∵△NLD∽△DEP,
∴===3,
∴NL=7,DL=7,
∴N(﹣8,7).
∴直线PN的解析式为y=﹣x﹣3.
联立y=x2+2x﹣3与y=﹣x﹣3,解得:x=(舍去)或x=﹣4.
∴M(﹣4,5).
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题,知识点比较全面、难度较大,关键点是作辅助线构造三角
形,利用相似三角形的相似比例求解.
222
21.【答案】(1)y=x+3﹣10=x﹣7;(2)y=2x+3或y=2(x+1)+1;(3)a=1或a=.
2
【分析】(1)先将抛物线的解析式化为顶点式,然后根据关联直线的定义即可得出答案;
22mk3
(2)由题意可得a=2,c=3,设抛物线的顶点式为y=2(x-m)+k,可得2,可求m和k的值,
2mk3
即可求这条抛物线的表达式;
(3)由题意可得A(1,4a),B(2,3a),C(-1,0),可求AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,分BC,AC
为斜边两种情况讨论,根据勾股定理可求a的值.
22
【详解】解:(1)∵y=x+6x﹣1=(x+3)﹣10,
∴关联直线为y=x+3﹣10=x﹣7;
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,
∴a=2,c=3,
可设抛物线的顶点式为y=2(x﹣m)2+k,
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则其关联直线为y=2(x﹣m)+k=2x﹣2m+k,
2mk3m0m1
∴2,解得或,
2mk3k3k1
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∴抛物线解析式为y=2x+3或y=2(x+1)+1;
(3)由题意:A(1,4a)B(2,3a)C(﹣1,0),
∴AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,
显然AB2<BC2且AB2<AC2,故AB不能成为△ABC的斜边,
当AB2+BC2=AC2时:1+a2+9+9a2=4+16a2解得a=±1,
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当AB+AC=BC时:1+a+4+16a=9+9a解得a=,
2
∵抛物线的顶点在第一象限,
2
∴a>0,即a=1或a=.
2
【点睛】本题是二次函数综合题,考查了直角三角形的性质,熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二
次函数的性质,理解坐标与图象性质,记住两点间的距离公式,注意分情况讨论思想的应用.
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