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中南大学2005年高等代数考研近年考试真题.docx

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中南大学
2005年研究生入学考试试题
考试科目:高等代数
1.(10分)设是阶矩阵,满足(是阶单位阵),,求:
2.(分)求证:下列齐次线性方程组的可解性:

3.(12分)设和是数域上的多项式,:如果,则.
4.(15分)设,,.求解:
(1) 为何值时,线性无关?
(2) 选取,将表示成的线性组合。
5.(15分) 设二次型

问取何值时,该二次型为正定型?
6.(12分)设是非奇异实对称矩阵,是反对称矩阵,且。证明必是非奇异的。
7.(20分)设矩阵的一个特征值为3,
(1)求; (2)求矩阵,使为对角矩阵。
8.(12分)设与是阶矩阵,证明与有相同的特征值。
9.(20分)设是数域上的维线性空间的一个线性变换,满足:。证明:
(1)的核;
(2)等于的核与值域的直和:。
10.(25分)设是欧氏空间中的单位向量,定义。证明:
(1)是正交变换。这样的正交变换称为镜面反射。
(2)是第二类的正交变换。
(3)如果在维欧氏空间中,正交变换以1作为一个特征值,且属于1的特征子空间是维的,那么是镜面反射。

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