函数的周期性和对称性——王彦文.pdf

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【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中,研究一个函数,首看定义域、值域,然后就要研
究对称性(中心对称、轴对称),并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性,以及它们之间的联系。因此,我
们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】
一、函数的周期性求法
使用情景:几类特殊函数类型
解题模板:第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形;
第二步准确求出函数的周期性;
第三步运用函数的周期性求解实际问题.
1
例1(1)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2),若f(1)5,则f(f(5))()
f(x)
11
A..
55
【答案】D
考点:函数的周期性.
(2)已知fx在R上是函数,且满足奇fx5fx,当x0,5时,fxx2x,则f2016()
A、-12B、-16C、-20D、0
【答案】A
试题分析:因为fx5fx,所以fx10fx5fx,fx的周期为10,因此
f2016f4f416412,故选A.
考点:1、函数的奇偶性;2、函数的解析式及单调性.
【点评】(1),主要涉及函数周期性的判断,利
用函数周期性求值.(2)求函数周期的方法
【变式演练1】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),f(3x)f(x),则f(2019)()
A.
【答案】B
1
【变式演练2】定义在R上的函数fx满足fx2fx0,x0,2时,fx3x1,则f2015的值为()
A.-
【答案】A
试题分析:由已知可得f(x4)f(x2)f(x)fx的周期T4f2015f(3)
f(1)2,:函数的周期性.
3
【变式演练3】定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x),且在x[2,0]上为增函数,af(),
2
7
bf(),cf(log8),则下列不等式成立的是()
21
2
bcaab
【答案】B
试题分析:因为定义在R上的偶函数yf(x)在x[2,0]上为增函数,所以在x[0,2]上单调递减,又
7113
f(x4)f(x),所以bf()f,cf(log8)f3f1,又1,所以bca.
22122
2
考点:;.
二、函数的对称性问题
使用情景:几类特殊函数类型
解题模板:记住常见的几种对称结论:
ab
第一类函数f(x)满足f(xa)f(bx)时,函数yf(x)的图像关于直线x对称;
2
abc
第二类函数f(x)满足f(xa)f(bx)c时,函数yf(x)的图像关于点(,)对称;
22
ba
第三类函数yf(xa)的图像与函数yf(bx)的图像关于直线x对称.
2
例2.(从对称性思考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),f(3x)f(x),则f(2019)()
A.
【答案】B
2
2
【易错点晴】函数f(x)满足f(-x)-f(x),则函数关于(0,0)中心对称,f(3x)f(x),则函数关于x轴对称,
3
常用结论:若在R上的函数f(x)满足f(ax)f(ax),f(bx)f(bx),则函数f(x)以4|ab|为周期.
2
本题中,利用此结论可得周期为40-6,进而f(2019)f(3),f(3)需要回到本题利用题干条件赋值即可.
3
33
例3已知定义在R上的函数fx的图象关于点,0对称,且满足fxfx,又
42
f11,f02,则f1f2f3...f2008()

【答案】D
3
试题分析:由fxfx得fxfx3,又f11,f02,
2
3
f(1)f(13)f(2),f(0)f(3),fx的图象关于点,0对称,所以
4
113
f1f()f()f(1),f(1)f(2)f(3)0,由fxfx3可得
222
f1f2f3...f2008669(f1f2f3)f(1)f(1)f(1)1,故选D.
考点:函数的周期性;函数的对称性.
1
例4已知函数g(x)ax2(xe,e为自然对数的底数)与h(x)2lnx的图像上存在关于x轴对称的点,则
e
实数a的取值范围是()
11
[1,2][1,e22][2,e22][e22,)
..
e2e2
【答案】B
考点:利用导数研究函数的极值;方程的有解问题.
33
【变式演练4】定义在R上的奇函数f(x),对于xR,都有f(x)f(x),且满足f(4)2,
44
3
f(2)m,则实数m的取值范围是.
m
【答案】m1或0m3
3
333
试题分析:由f(x)f(x),因此函数f(x)图象关于直线x对称,又f(x)是奇函数,因此它也是周期函
444
33
数,且T43,∵f(4)2,∴f(4)f(4)2,∴f(2)f(232)f(4),即m2,解得
4m
x1或0x3.
考点:函数的奇偶性、周期性.
【高考再现】
x1
1.【2016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x),若函数y与yf(x)图像的交
x
m
点为(x,y),(x,y),,(x,y),则(xy)()
1122mmii
i1
(A)0(B)m(C)2m(D)4m
【答案】C
x11
试题分析:由于fxfx2,不妨设fxx1,与函数y1的交点为1,2,1,0,故
xx
xxyy2,故选C.
1212
考点:函数图象的性质
ab
【名师点睛】如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(ax)f(bx),那么函数的图象有对称轴x;
2
如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(ax)f(bx),那么函数的图象有对称中心.
2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)<0时,f(x)x31;当1x1时,f(x)f(x);
111
当x时,f(x)f(x).则f(6)=()
222
(A)−2(B)−1(C)0(D)2
【答案】D
考点:;.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性,
类问题,关键在于利用分段函数的概念,发现周期函数特征,
问题的能力、基本计算能力等.
3.【2016年高考四川理数】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)4x,则
4
5
f()f(1)=.
2
【答案】-2
考点:函数的奇偶性和周期性.
5
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,周期性,属于基本题,在求值时,只要把f()和f(1),利用奇偶性与周期性
2
化为(0,1)上的函数值即可.
xa,1x0,

5.【2016高考江苏卷】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[1,1)上,f(x)2其中
x,0x1,
5
59
a()f(),则f(5a)的值是.
22
2
【答案】
5
51911123
【解析】f()f()f()f()aa,
22222255
32
因此f(5a)f(3)f(1)f(1)1
55
考点:分段函数,周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,
,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是
分段函数结合点处函数值.
【反馈练****br/>1.【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学,理4】设函数yf(x)定义在实数集R上,则函数yf(ax)与
yf(xa)的图象()
a对称
【答案】D
2.【2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复****周测二数学试卷】已知函数fx是定义在R内的奇函数,且
5
满足fx4fx,当x0,2时,fx2x2,则f2015()
A.-.-
【答案】A
试题分析:由fx4fx得fx的周期T4f2015f(3)f(1)f(1)2,故选A.
考点:1、函数的奇偶性;2、函数的周期性.
3.【2017届河南新乡一中高三9月月考数学,文8】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x),对x,x[0,3]
12
f(x)f(x)
且xx,都有120,则有()
12xx
12
(49)f(64)f(81)(49)f(81)f(64)(64)f(49)f(81)(64)f(81)f(49)
【答案】A
【解析】
试题分析:因为f(x3)f(x),所以f(x6)f(x3)fx,及fx是周期为6的函数,结合f(x)是偶
函数可得,f(49)f1,f(64)f2f2,f(81)f3f3,再由x,x[0,3]且xx,
1212
f(x)f(x)
120得f(x)在[0,3]上递增,因此f(1)f(2)f(3),即f(49)f(64)f(81),故选A.
xx
12
考点:1、函数的周期性;2、奇偶性与单调性的综合.
4.【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷,文12】已知定义在R上的函数f(x)满足:yf(x1)的图
31
象关于(1,0)点对称,且当x0时恒有f(x)f(x),当x[0,2)时,f(x)ex1,则
22
f(2016)f(2015)()
1C.11
【答案】A
31
试题分析:yf(x1)的图象关于(1,0)点对称,则fx0时恒有f(x)f(x)即函
22
数fx(2016)f(2015)f0f11e.
考点:函数的单调性、周期性与奇偶性,分段函数.
5.【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷,理11】已知函数f(x)ax2(1x2)与g(x)x2的
图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()
99
A.[,)B.[,0]C.[2,0]D.[2,4]
44
【答案】C
6
【解析】
考点:构造函数法求方程的解及参数范围.
1f(x)
6.【,理9】若对正常数m和任意实数x,等式f(xm)
1f(x)
成立,则下列说法正确的是()
(x)是周期函数,(x)是奇函数,但不是周期函数
(x)是周期函数,(x)是偶函数,但不是周期函数
【答案】C
考点:函数的周期性.
7.【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷,文10】函数f(x)的定义域为R,以下命题正确的是()
①同一坐标系中,函数yf(x1)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称;
33
②函数f(x)的图象既关于点(,0)成中心对称,对于任意x,又有f(x)f(x),则f(x)的图象关于直线
42
3
x对称;
2
③函数f(x)对于任意x,满足关系式f(x2)f(x4),则函数yf(x3)是奇函数.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】D
【解析】
试题分析:
7
①正确,因为函数yfx与yfx关于y轴对称,而yfx1和yf1x都是yfx与yfx向
右平移1个单位得到的,所以关于直线x1对称;
333
②正确,因为函数关于点-,0成中心对称,所以fxfx,而f(x)f(x),所以
422
333
fxfx,即fxfx,又根据f(x)f(x),可得函数的周期T3,又有fxfx,
222
3333
所以fxfxfx,所以函数关于直线x对称;
2222
x2x4
③正确,因为3,所以函数fx关于点3,0对称,而函数yfx3是函数yfx向左平
2
移3个单位得到,所以函数yfx3,故选D.
考点:抽象函数的性质
2x24x1(x0)

8.【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学,文12】函数f(x)2的图像上关于原点
(x0)
ex
对称的点有()对

【答案】B
2x24x1(x0)

试题分析:作出函数f(x)2的图象如图所示,再作出y2x24x1关于原点对称的图象,记
(x0)
ex
,所以满足条件的对称点有两对,即图中的A,B就是符合题意
的点,故选B.
8
考点:函数的图象与性质及应用.
9.【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学,文7】定义在实数集R上的函数fx满足
fxfx20,f(4x)f(x).现有以下三种叙述:①8是函数fx的一个周期;②fx的图象关于直线
x2对称;③fx()
A.②③B.①②C.①③D.①②③
【答案】D
考点:函数周期性、对称性和奇偶性.
9