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重庆大学2003年高等代数考研近年考试真题.docx

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重庆大学2003年高等代数考研试题

(1) 设阶方阵满足,其中是单位矩阵,,则。
(2) 设均为阶方阵,,为矩阵的伴随矩阵,则。
(3) 设,,则。
(4) 设,其中为任意3维实向量,则线性变换在基下的矩阵表示为。
(5) 设是可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵一定有一个特征值为。
(6) 若方程无解,则;若此方程有唯一解,则。
(7) 设,,则。
(8) 向量组的秩等于,其一个最大无关组是
。
(9) 设,,,则向量的长度。
(10) 设阶方阵的秩,阶方阵的秩,则的解空间的维数等于。

(1) 设维向量,令,求对角矩阵和可逆矩阵使得。
(2) 设是5维Euclid空间的一组标准正交基,,其中,,,求的一组标准正交基。
(3) 设,求的初等因子和Jordan标准矩阵。
(4) 设阶方阵满足,且,证明相似于对角阵,并求的值。
(5) 设是阶方阵,,求矩阵的行列式的值。

(1) 设是中的两个非平凡子空间,证明在中存在向量使得,并在中举例说明此结论。
(2) 设是维线性空间的一组基,对任意个向量,证明存在唯一的线性变换使得。
(3) (i) 设为阶方阵,证明的充分必要条件是的解均为的解。
(ii) 设为阶方阵,,证明对于任意可以相乘的矩阵均有。
(iii) 若有自然数使得,则。
(4) 设为阶实对称矩阵。
(i) 若,则存在非负整数和可逆矩阵使得
(ii) 记,给出为的子空间的充分必要条件,并证明你的结论。
(5) 设实二次型,是的特征值,证明存在非零向量,使得。
(6) 设是三个多项式,证明
。

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