数学教师手册 多项式方程式.docx

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多项式方程式
教学眉批
称为虚数单位。
22i。
1。
i4与i6也可以这样算:
i4=i2?i2
=(-1)?(-1)
=1﹐
6=i4?i2=1?(-1)
=-1﹐
当k为整数时﹐我们有
i4k=(i4)k=1﹐
i4k+1=(i4)k?i1=i1=i﹐
i4k+2=(i4)k?i2=i2=-1﹐
i4k+3=(i4)k?i3=i3=-i。
(1)i。
(2)1。
高中数学教师手册 多项式方程式 2
2-5i。
-3i。
教学眉批
a﹐b为实数时﹐我们有下列性质:
ab,若a
0且b<0
a
a,若a
0且b<0
ab
b
﹐
ab,其他情形
,
a
b
,其他情形
b
例如:
2
3
2i
3i
23i2
2
3
﹐
2
2
2i
2i
2。
3
3i
3i2
3
3
a=-1﹐b=-2。
教学眉批
因为(1±i)2=±2i只剩一项﹐所以遇到(1±i)m时﹐先算(1±i)2可以简化计算。
例如:
(1+i)2n=((1+i)2)n
=(2i)n=2n?in﹐
(1-i)2n=((1-i)2)n
=(-2i)n
=(-2)n?in。
高中数学教师手册 多项式方程式 3
25-10i。
29。
-32i。
补充演练
试求(1+i)98(1-i)99。
解 〔解法一〕
(1+i)98(1-i)99
=((1+i)2)49?((1-i)2)49?(1-i)
=(2i)49?(-2i)49?(1-i)=249?i49?(-2)49?i49?(1-i)
=249?i?(-249)?i?(1-i)=298(1-i)=298-298i。
〔解法二〕
(1+i)98(1-i)99
=((1+i)(1-i))98?(1-i)
=298(1-i)=298-298i。
21i。
55
17i。
2525
(1)3-4i。
(2)2i。
高中数学教师手册 多项式方程式 4
教学眉批
三次方程式与四次方程式也有公式解 由意大利数学家 Cardano和Ferrari 五次以上
的方程式没有公式解 已由数学家 Abel出。
(1)x=-2±3i。
(2)x= 1 3i。
2
充演
假a b皆非零数且坐平面上二次函数 y=ax2+bx与一次函数 y=ax+b的
形相切。出切点所在位置下列哪一个。
在x上(B)在y上(C)在第一象限(D)在第四象限
(E)当a>0 在第一象限;当 a<0 在第四象限 〔〕
解 考ax2+bx=ax+b ax2+(b-a)x-b=0 (ax+b)(x-1)=0⋯⋯(*)
因y=ax2+bx与y=ax+b相切
D=(b-a)2+4ab=0(b+a)2=0所以b=-a代入(*)得a(x-1)2=0
x=1即切点(10)故(A)。
a<1且a0。
a=1。
(3)a>1。
高中数学教师手册 多项式方程式 5
教学眉批
这是以几何观点来看代数问题﹐ 有时几何问题也可以由代数方法来解。
例如:坐标平面上两直线交点﹐ 通常由两直线方程式联立解出交点坐标。高中数学中有关代
数领域与几何领域结合的问题﹐ 宜多向学生做说明。
补充演练
设a﹑b为实数。已知坐标平面上拋物线
y=x2+ax+b与x轴交于P﹑Q两点﹐
且PQ=7。若拋物线y=x2+ax+(b+2)与x轴的两交点为R﹑S﹐则RS=
。
〔〕
解设P(α,0)﹐Q(β,0)﹐即α﹐β为x
2+ax+b=0之两根﹐则
a。
b
可得PQ=|α-β|=(
)2=(+)2
4
=
a2
4b=7﹐因此得a2-4b=49。
设R(γ,0)﹐S(δ,0)﹐即γ﹐δ为x2+ax+(b+2)=0之两根﹐则
a
b
。
2
故得RS=|γ-δ|=(
)2=(
)2
4
=
a2
4(b
2)=(a2
4b)
8
=49
8=41。
以公式解验证如下:
α+β=b
b2
4ac
b
b2
4ac
b﹐
2a
2a
a
2
2
2
2
b
b
4ac
αβ=b
b
4acb
b
4ac
c﹐
4a2
2a
2a
a
根与系数的关系对于虚系数二次方程式也是成立的。
高中数学教师手册 多项式方程式 6
教学眉批
若ax3+bx2+cx+d=0
三根为α﹐β﹐γ﹐
b
a
则

c
a
d
a
若ax4+bx3+cx2+dx+e=0
四根为α﹐β﹐γ﹐δ﹐
b
a
c
则
a
d
a
e
a
6。
-5。
-1。
6
教学眉批
本题活用根与系数关系即可求出 k值﹐而不须将 α代入原方程式化简求 k。
(1)2。
3
高中数学教师手册 多项式方程式 7
11。
3
上一节介绍过的因式定理也适用复系数多项式。
±1﹐±i。
教学眉批
通常对于三次多项式只要找到一个一次因式﹐ 利用除法所得的商即为二次因式﹐ 这个二次因
式能否再分解成两个整系数一次因式﹐ 用国中学过的十字交乘法检验即可。同理﹐ 对于四次
多项式﹐只要找出两个一次因式﹐ 剩下的再用十字交乘法检查。
f(x)=(x+2)(x2+x+2)。
-1 7i
(2)x=-2或x= 。
补充演练
若a为正整数且方程式 5x3+(a+4)x2+ax+1=0的根都是有理根﹐则a= 。
〔〕
解 令f(x)=5x3+(a+4)x2+ax+1﹐
若px-q(p﹑q ￠﹐且p﹑q互质)为 f(x)之一次因式﹐
则 p5﹐q1﹐
1
因此f(x)可能的有理根为 ﹐±1﹐
5
因为a为正整数﹐故f
1
0﹐
0﹐f(1)
5
高中数学教师手册 多项式方程式 8
又f(-1)=0 f(x)=(x+1)〔5x2+(a-1)x+1〕﹐
5+(a+4)+a
+1-1
- 5 +(-a+1) -1
5+(a-1)+ 1 +0
若5x2+(a-1)x+1有因式x+1﹐
则5(-1)2+(a-1)(-1)+1=0 a=7。
若5x2+(a-1)x+1有因式5x+1﹐
-1
2
1
则5
+(a-1)-
10a7
5
5
+=
=。
故a=7。
高中数学教师手册 多项式方程式 9
教学眉批
令f(x)=(ax-b)q(x)﹐这是一个恒等式﹐
x=1代入可得f(1)=(a-b)q(1)﹐即得a-b为f(1)的因子。
x=-1代入可得f(-1)=-(a+b)q(-1)﹐即得a+b为f(-1)的因子。当f(x)可能的一次因式太多时﹐利用上述***质可先排除一些不合者。
另外﹐牛顿定理是不可逆的﹐即当a是an的因子且 b是a0的因子时﹐ax-b未必是 f
(x)的因式。
教学眉批
虚根成对定理只适用实系数多项式方程式﹐ 当然有理系数或整系数多项式方程式都适用(因
为有理数与整数都是实数)。
若f(x)是实系数多项式﹐z为一复数﹐则f(z)=f(z)。
f(x)=x3-3x2+4x-2。
补充演练
设f(x)为满足下列条件的最低次实系数多项式: f(x)最高次项的系数为 1﹐且3-2i﹑i
﹑5皆为方程式 f(x)=0的解(其中 i2=-1)。则f(x)之常数项为 。 〔
测〕
解f(x)=(x-(3-2i))(x-(3+2i))(x-i)(x+i)(x-5)=(x2-6x+13)(x2+1)(x-5)
高中数学教师手册 多项式方程式 10
故得常数项为 f(0)=13?1?(-5)=-65。
-42+10i。
补充演练
设f(x)=x4-5x3+x2+ax+b为实系数多项式﹐且知f(i)=0(其中i2=-1)。请问下列哪些选项是多项式方程式f(x)=0的根?
(A)-i (B)0 (C)1 (D)-5 (E)5 〔〕
解 因为f(x)为实系数多项式且 f(i)=0﹐
所以f(-i)=0。
则f(x)有因式(x-i)(x+i)=x2+1。
因此得 a+5=0﹐b=0﹐且f(x)=(x2+1)(x2-5x)=x(x-5)(x2+1)﹐
故得f(x)=0的根为0﹐5﹐±i﹐故选(A)(B)(E)。
教学眉批
如果方程式有有理根﹐用一次因式检验法即可求出﹐ 如果没有有理根﹐则可用勘根定理求实
根的近似值。
勘根定理主要在判断实根的落点(位置)。