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数学课本-(垂直平分线与角平分线).docx


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3-3垂直平分线与角平分线

1垂直平分线 配合****作P43基础题4
在第2章我们曾经以线对称说明垂直平分线的性质,接下来将利用三角形全等性质说明垂直平分线的性质。
L
例题1垂直平分线的性质
A
如图,直线L是BC的垂直平分线,A是直线L上任意一点,连接AB、AC,利用三角形全等性质说明AB=AC。
说明
在△ABD与△ACD中,
直线L是BC的垂直平分线,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
且BD=CD,又AD=AD(公用边),故△ABD△ACD(SAS全等性质)。因此AB=AC(对应边相等)。
垂直平分线的性质
一线段的垂直平分在线任一点到此线段的两端点距离相等。

B C
D
A A
B C
D D
随堂练****配合****作P42基础题1
如图,△ABC中,直线L是AB的垂直平分线,若AB=14,BC=15,AC=13,求△ACE的周长。
解∵直线L是AB的垂直平分线,E点为L上的一点,
AE=BE,

L
C
E
故△ACE的周长=AC+CE+EA=AC+CE+BEA
D
B
=AC+BC=13+15=28
P129
例题2垂直平分线的判别
L
如图,A点是BC外一点,且AB=AC,自A点作直线
A
L垂直BC,且交BC于D点,利用三角形全等性质说
明直线L是BC的垂直平分线。
说明
B
C
在△ABD与△ACD中,
D
∵∠ADB=∠ADC=90°(直线L垂直
BC),
A
A
AB=AC(已知),
AD=AD(公用边),
∴△ABD△ACD(RHS全等性质),
B
C
故BD=CD(对应边相等),
D
D
因此,直线L是BC的垂直平分线。
垂直平分线的判别
若一点到某线段的两端点距离相等,则该点在此线段的垂直平分在线。
随堂练****配合****作P42基础题1
如图,△ABC中,CD是AB上的高,若AC=CE=13,AE
C
=10,BC=15,求BE。

∵AC=CE且CD⊥AE
∴CD为AE的垂直平分线
AD=DE=5,CD=
2
2
=12,
A
DEB
13
-5
2
2
=9,BE=9-5=4
BD=BC-CD=152-122
P130
2角平分线 配合****作P43基础题4
接下来,我们将利用三角形全等性质说明角平分线性质。
例题3角平分线的性质
B
uuur
uuur
D
Q
如图,AQ为∠BAC的角平分线,P点在AQ上,PD⊥AB,
PE⊥AC。利用三角形的全等性质说明
PD=PE。
P
A
C
说明
E
在△APD与△APE中,
B
⊥AC),
D
∵∠
ADP
=∠
AEP
=°(
PD

AB
,
PE
Q
90
∠PAD=∠PAE(P在∠BAC的角平分在线),
P
AP=AP(公用边),
A
C
∴△APD
△APE(AAS全等性质),
E
故PD=
PE(对应边相等)。
从例题3可知,若P点在∠BAC的角平分在线,则P点到∠BAC两边的距离相等。
角平分线的性质
一个角的角平分在线任一点到此角的两边距离相等。
随堂练****配合****作P42基础题2
如图,△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=∠AED=90°,
A
E
AB=15,AC=39,DE=10,求CD的长。

BD
C
∵AD是∠BAC的角平分线∴AB=AE=15
CE=39-15=24
2
2
242+102
=26
∵∠AED=90=∠CED∴CD=CE+DE
=
P131
例题4角平分线的判别
如图,P点为∠BAC内部一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PD
=PE。利用三角形的全等性质说明 AP平分∠BAC。
A
说明
在△APD与△APE中,
∵∠ADP=∠AEP=90°(PD⊥AB,PE⊥AC)
PD=PE(已知)
AP=AP(公用边)
A
∴△APD△APE(RHS全等性质),
故∠1=∠2(对应角相等),因此,AP平分∠BAC。

B
D
1 P
2
E
C
D
B
1
P
2
E
C
从例题4可知,若P点为∠BAC内部一点,且P点到∠BAC两边的距离相等,则P点在∠BAC的角平分在线。
角平分线的判别
若某角内部的一点到此角的两边距离相等,则该点在此角的角平分在线。
随堂练****br/>∠AED=90°,
,∠C=50°,
如图,△ABC中,∠B
=
DB
=
DE
C
求∠ADB的度数。
E

D
∵∠B=∠AED=90°且DB=DE
A
B
∴AD为∠CAB的角平分线
CAB=180°-50°-90°=40°,∠DAB=20°
ADB=180°-90°-20°=70°
P132
等腰三角形的顶角平分线
我们可以利用三角形全等性质,说明等腰三角形的顶角平分线性质。
例题5等腰三角形顶角平分线的性质
如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D点。
说明△ABD和△ACD全等。
说明AD垂直平分BC。说明
B
(1)在△ABD与△ACD中,
∵AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC),
AD=AD(公用边),
∴△ABD △ACD(SAS全等性质)。
(2)∵△ABD △ACD,
∴∠ADB=∠ADC(对应角相等),

A
C
D
A
BD=CD(对应边相等),
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
因此AD垂直平分BC。

B

C
D
等腰三角形的顶角平分线性质
等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。
随堂练****配合****作P42基础题3
ABC中,AB=AC=25,BC=14,求△ABC的面积。

作∠A的角平分线,交BC于D点,AD为BC上的高

A A
BD=CD=1
BC=7
2
2
2
2
2
B
CB
C
AD=AC-CD
=
=24
D
25-7
ABC的面积=1424=168
2
P133
重点回顾
●垂直平分线的性质:
1
一线段的垂直平分在线任一点到此线段的两端点距离相等。
L
P
例如图,已知直线L垂直平分AB,
P为直线L上任意一点,则PA=PB。
A
B
2
●垂直平分线的判别:
L
若一点到某线段的两端点距离相等,则该点在此线段的垂直
平分在线。
P
例如图,PA=PB,
A
B
则P点在AB的垂直平分线L上。
●角平分线的性质:
3
一个角的角平分在线任一点到此角的两边距离相等。
D
L
例如图,已知直线L为∠DAE的角平分线,
P
P为直线L上任意一点,
A
若PD⊥AD,PE⊥AE,则PD=PE。
E
●4角平分线的判别:
若某角内部的一点到此角的两边距离相等,则该点在此角的角平分在线。
例如图,已知PD⊥AD,PE⊥AE,
且PD=PE,则P点在∠DAE的角平分线L上。
5
A
●等腰三角形的顶角平分线性质:
等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边。
例如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,
AD平分∠BAC,交BC于D点,
C
B
D
则AD垂直平分BC。
P134
3-3自我评量
如图,直线L是AB的垂直平分线,P、Q两点皆在直线L上,在空格中,填入适当的文字或符号,
说明△APQ △BPQ。 课P128~129例1~2
说明:
在△APQ与△BPQ中,
∵PA=PB(理由: 直線L是AB的垂直平分線 )
QA=QB(理由: 直線L是AB的垂直平分線 )
PQ=PQ(公用边)
∴△APQ △BPQ( SSS全等性质)。
课P128~129例1~2
如图,四边形ABCD中,AB=AD=20,
BC=CD=13,BD=24,求AC。

AB=AD,BC=CD,
∴AC垂直平分BD,
故BE=1BD=1×24=12,
22

L
P
Q
A B
L
P
Q
A B
A
B E D
C
2 2 2 2
且AE= 20-12=16,CE= 13-12=5,
答:21。
课P130~131例3~4
,△ABC中,BD平分∠ABC,∠C=∠BED
A
E
=90°,AB=15,CD=4,求△ABD的面积。

D
∵BD平分∠ABC
∴CD=DE=4
1
B
C
△ABD的面积=
×
AB
×
DE
2
1×15×4
2
=30
答:30。
P135
如图,△ABC中,∠C=∠ADE=90°,
CE=DE,∠B=40°,求∠EAD的度数。


课P130~131例3~4
C
E
∵∠C=∠ADE=90°,CE=DE,
∴AE平分∠CAD,
又∠CAD=180°-∠B-∠C A
=180°-40°-90°
=50°
∴∠EAD=1×∠CAD
2

D

B
1×50°=25°
2
如图,△ABC中,AB=AC=25,BC=30,
求△ABC在BC边上的高。
课P132例5

作BC上的高AD,
AB=AC,
BD=1BC=1×30=15
22
故AD= 252-152=20
答:20。

答:25°。
A
B C
A
B C
D

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