铜芯电缆温度分布MATLAB计算模型.docx

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如图1所示铜芯电缆,电流为 5000A,内径为10mm,外包材料聚***乙烯的厚度为
2mm,导热系数为 +{t}W/(m K)。电缆左半边为绝热边界条件,右半边为
第三类边界条件,空气温度为 20℃,绝缘层表面与环境间的复合表面传热系数为
10W/(m2K)。铜的电阻率为Rt R01 at-20 ,R0 108 m,a ,
的单位为摄氏度。试通过数值方法求解温度分布。
图1


根据题意,本题为二维稳态导热问题,其控制方程为:
1
r
T
1
T
r
r
r
S0
r
r
边界条件:
r

0~
,3
~2
:qB
hTf
TW
2
2
r

~3
:qB
0
2
2
其中:Tf
20C。
1

为建立通用方程,考虑非稳态项的控制方程为:
cT
1
r
T
1
T
S0
t
rr
r
r
r
采用全隐格式,在 t时间内,对控制容积积分,整理后可得:
aPTP aETE aWTW aNTN aSTS b
其中:
aE
r
,aW
r
,
e/
rw
w/w
re
e
aN
rn
,aS
rs
,
rs/
rn/n
s
aPaE
aW
aNaS
aP0
SPV
aP0
cV,bSC
VaP0TP0,
t
采用通用表达式,各表达式如下表:
表1坐标及系数表达式
坐标系
极坐标
通用表达式
东西坐标
X
南北坐标
r
Y
半径
r
R
东西尺度系数
r
SX
东西节点间距
r
X
SX
南北节点间距
r
Y
东西导热面积
r
R
Y/SX
南北导热面积
r
R
X
控制体体积
rr
R
X
Y
2
aE
aW
r
R
Y
er/
2
X
e/
e
SX
e
aN
aS
r
R
X
rn/
n
Y
n/
n
aP0
cR
XY/
t
b
SCRXY
aP
aPaE
aWaN
aS
aP0
SPRXY

对于北边界,采用附加源项法处理。由于北边界
(r

0~
,3
~2)为
2
2
第三类边界条件,则最靠近边界的控制容积加入以下附加源项:
A
Tf
SC,ad
V1/h
xn/
B
SP,ad
A
1
V1/h
xn/
B
其中:Tf20C
将附加源项加到相应控制容积后,再令相应的
aN
0。
对于南边界,可认为定温边界条件,由于其导热面积为零,
aS0。
对于东西边界,计算时取
2计算区域,故东西边界重合,可认为为定温边界条件,
温度为上一层相邻控制容积的温度。

取铜导热系数为常数,
400W/(m
K)。
每个控制容积各界面对应导热系数分别为 n、 s、e、w。对于铜芯或保温层内
部控制容积,各导热系数均为常数。两者交接界面的导热系数用调和平均法计算。
3

方程采用ADI-TDMA方法求解,首先在Y方向进行隐式计算,X方向采用显式计算。各方向对应方程为三对角矩阵,使用TDMA法求解。然后再在X方向进行隐式计算,Y方向采用显式计算。
4
结果输出与分析

程序中温度T为二维数组,采用坐标变换方法,将温度表示在极坐标系中。
设定温度初场为23℃,循环结束判定条件为 T T0/T2 1E 9,网格数为120 70
条件下,输出结果如图 2:
图2

保持迭代精度 T T0/T2 1E 8不变:
1. 网格数为24 14时,计算结果为:
5
图3
2. 网格数为48 28时,计算结果为:
图4
6
网格数为200140时,计算结果为:
图5
结论:从以上各图可以看出,程序运行结果与网格划分无关,程序具有较好的网格独立性。

通过这次matlab编程作业,我对二维扩散问题有了更加深刻的理解,对网格划分、
通用离散形式、边界条件处理等有了进一步的认识。在编写Matlab程序过程中,,经过对比后发现此文件相比于TDMA方法在速度上稍微快一点,结果基本相同。
通过编程,我更加深刻的认识到只有亲自动手才能加深对问题理解,才能真正获得
属于自己的知识。
7
程序语句
程序采用Matlab编写,主要分为 4部分,分别是主程序,用于给定题目条件,调
用其他函数,循环求解等;网格划分函数 ,用于划分网格;,
用于执行交替隐式计算;

clearall
clearglobal
formatlong
globalX
globalY
globaldX
globaldY
globalDX
globalDXn
globalDXs
globalDY
globalCv
globalCV
globalT
globalT0
globalTf
globalnodX
globalnodY
nodX=200;
nodY=350;
%给出题目参数
X=2*pi;

,用于求解三对角矩阵。
Y=7E-3;
Grid;%划分网格
Tf=20;
h=10;
%计算导热系数
fori=1:5/7*nodY
Le(i)=400;%假设铜的导热系数
为400W/()
Lw(i)=400;
end
fori=5/7*nodY+1:nodY
Le(i)=;
Lw(i)=;
end
fori=1:5/7*nodY-1
Ln(i)=400;
end
fori=5/7*nodY+1:nodY
Ln(i)=;
end
Ln(5/7*nodY)=2/(1/Ln(5/7*nodY-1)+1
/Ln(5/7*nodY+1));
fori=1:5/7*nodY
8
Ls(i)=400; aE=ones(nodX,1)*(DY.*Le./dX);
end aW=ones(nodX,1)*(DY.*Lw./dX);
fori=5/7*nodY+2:nodY aN=ones(nodX,1)*(DXn.*Ln/dY);
Ls(i)=; aS=ones(nodX,1)*(DXs.*Ls/dY);
end aP0=0;
Ls(5/7*nodY+1)=2/(1/Ls(5/7*nodY)+1 %边界条件的处理,附加源项法
/Ls(5/7*nodY+2)); Scad=DXn(nodY)/Cv(nodY)*Tf/(1/h+
%设定初始值 Y/2/nodY/Ln(nodY));
fori=1:nodX Spad=-DXn(nodY)/Cv(nodY)/(1/h+Y/
forj=1:nodY 2/nodY/Ln(nodY));
T(i,j)=23; fori=1:nodX
end aN(i,nodY)=0;
end aS(i,1)=0;
T0=T; end
%定义内热源 fori=1:nodX/4
fori=1:nodX Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad;
forj=1:5/7*nodY Sp(i,nodY)=Sp(i,nodY)+Spad;
Sp(i,j)=-; end
fori=3*nodX/4+1:nodX
Sc(i,j)=+*T0(i,j);%用T0表示 Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad;
上时刻的值 Sp(i,nodY)=Sp(i,nodY)+Spad;
end end
forj=5/7*nodY+1:nodY b=Sc.*CV;
Sp(i,j)=0; aP=aE+aW+aN+aS-aP0-Sp.*CV;
Sc(i,j)=0; SolutionTDMA(aE,aW,aN,aS,aP,b);
end cont=1
end norm((T-T0)./T)
%计算系数 while(norm((T-T0)./T)>1E-8)
9
cont=cont+1
Y(i,j)=j*dR*sin(theta*(i-1));
norm((T-T0)./T)
X(i,1)=0;
T0=T;
Y(i,1)=0;
fori=1:nodX
end
forj=1:5/7*nodY
end
Sc(i,j)=+*T0(i,j);%用T0
fori=1:nodX+1
表示上时刻的值
forj=1:nodY
end
T(nodX+1,j)=T(1,j);
forj=5/7*nodY+1:nodY
Z(i,j)=T(i,j);
Sc(i,j)=0;
end
end
end
end
surf(X,Y,Z);
fori=1:nodX/4

Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad;
end
globalX
fori=3*nodX/4+1:nodX
globalY
Sc(i,nodY)=Sc(i,nodY)+Scad;
globaldX
end
globaldY
b=Sc.*CV;
globalDX
aP=aE+aW+aN+aS-aP0-Sp.*CV;
globalDXn
SolutionTDMA(aE,aW,aN,aS,aP,b);
globalDXs
end
globalDY
%输出图形
globalCv
theta=X/nodX;
globalCV
dR=Y/nodY;
globalnodX
fori=1:nodX+1
globalnodY
forj=1:nodY
%计算半径与尺度系数
X(i,j)=j*dR*cos(theta*(i-1));
R=Y/2/nodY:Y/nodY:Y-Y/2/nodY;
Rn=R+Y/2/nodY;
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