中考数学专题复习第14讲：二次函数的同象和性质(含详细参考答案).doc

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【根底知识回忆】
一、二次函数的顶义:
一般地如果y=〔a、b、c是常数a≠0〕那么y叫做x的二次函数
名师提醒:二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的结构特征是:
1、等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是,按一次排列
2、强调:二次项系数a0。
二、二次函数的图象和性质:
1、二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的图象是一条,其顶点坐标为对称轴式
2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中:1、当a>0时,y口向,当x<-时,y随x的增大而,当x时,y随x的增大而增大,2、当a<0时,开口向当x<-时,y随x增大而增大,当x时,y随x增大而减小。
【名师提醒:注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2,对称轴顶点坐标
2、y=ax2+k,对称轴顶点坐标
3、y=a(x-h)2对称轴顶点坐标
4、y=a(x-h)2+k对称轴顶点坐标】
三、二次函数图象的平移
【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系:
a:开口方向向上那么a0,向下那么a0|a|越大,开口越
b:对称轴位置,与a联系一起,用判断b=0时,对称轴是
c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,那么c0负半轴上那么c0,当c=0时,抛物点过
点
【名师提醒:在抛物线y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一:二次函数图象上点的坐标特点
例1〔2021•常州〕二次函数y=a〔x-2〕2+c〔a>0〕,当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,,那么y1,y2,y3的大小关系正确的选项是〔 〕
<y2<<y2<<y1<<y1<y2
思路分析:根据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,即可得到答案.
解:∵二次函数y=a〔x-2〕2+c〔a>0〕,
∴该抛物线的开口向上,且对称轴是x=2.
∴抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,
∵x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,
∴y3>y2>y1.
应选B.
点评:,需熟悉抛物线的有关性质:抛物线的开口向上,那么抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大.
对应训练
1.〔2021•衢州〕二次函数y=x2-7x+,假设自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,那么对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的选项是〔 〕
>y2><y2<>y3><y3<y1
解:∵二次函数y=x2-7x+,
∴此函数的对称轴为:x==,
∵0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0,
∴对称轴右侧y随x的增大而减小,
∴y1>y2>y3.
应选:A.
考点二:二次函数的图象和性质
例2〔2021•咸宁〕对于二次函数y=x2-2mx-3,有以下说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,那么m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,那么m=-1;
④如果当x=4时的函数值与x=2021时的函数值相等,那么当x=2021时的函数值为-3.
其中正确的说法是.〔把你认为正确说法的序号都填上〕考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
思路分析:①根据函数与方程的关系解答;
②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;
③将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断;
④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2021代入解析式即可.
解:①∵△=4m2-4×〔-3〕=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;
②∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=-≥1在直线x=1的右侧〔包括与直线x=1重合〕,那么≥1,即m≥1,故本选项错误;
③将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即〔x-1〕〔x+3〕=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;
④∵当x=4时的函数值与x=2021时的函数值相等,∴对称轴为x==1006,那么=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2021x-3,当x=2021时,y=20212-2021×2021-3=-3,故本选项正确.
故答案为①④〔多填、少填或错填均不给分〕.
点评:此题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点,综合性较强,表达了二次函数的特点.
对应训练
2.〔2021•河北〕如图,抛物线y1=a〔x+2〕2-3与y2=〔x-3〕2+1交于点A〔1,3〕,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,:
①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;
其中正确结论是〔 〕
A.①②B.②③C.③④D.①④
:①∵抛物线y2=〔x-3〕2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,∴无论x取何值,y2的值总是正数,故本小题正确;
②把A〔1,3〕代入,抛物线y1=a〔x+2〕2-3得,3=a〔1+2〕2-3,解得a=,故本小题错误;
③由两函数图象可知,抛物线y1=a〔x+2〕2-3过原点,当x=0时,y2=〔0-3〕2+1=,故y2-y1=,故本小题错误;
④∵物线y1=a〔x+2〕2-3与y2=〔x-3〕2+1交于点A〔1,3〕,
∴y1的对称轴为x=-2,y2的对称轴为x=3,
∴B〔-5,3〕,C〔5,3〕
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本小题正确.
应选D.
考点三:抛物线的特征与a、b、c的关系
例3〔2021•玉林〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图,其对称轴为x=1,有如下结论:
①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④假设方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=2,
那么正确的结论是〔 〕
A.①②B.①③C.②④D.③④
思路分析:由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,应选项①错误;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项.
解:由抛物线与y轴的交点位置得到:c>1,选项①错误;
∵抛物线的对称轴为x==1,∴2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,
∵方程的两根为x1,x2,且=1,及=2,
∴x1+x2==2,选项④正确,
综上,正确的结论有②④.
应选C
点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时〔即ab>0〕,对称轴在y轴左;当a与b异号时〔即ab<0〕,对称轴在y轴右.〔简称:左同右异〕③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于〔0,c〕.
对应训练
3.〔2021•重庆〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图对称轴为x=.以下结论中,正确的选项是〔 〕
>+b=+c>+c<2b
解:A、∵开口向上,
∴a>0,
∵与y轴交与负半轴,
∴c<0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴<0,
∴b>0,
∴abc<0,
故本选项错误;
B、∵对称轴:x==,
∴a=b,
故本选项错误;
C、当x=1时,a+b+c=2b+c<0,
故本选项错误;
D、∵对称轴为x=,与x轴的一个交点的取值范围为x1>1,
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2<-2,
∴当x=-2时,4a-2b+c<0,
即4a+c<2b,
故本选项正确.
应选D.
考点四:抛物线的平移
例4〔2021•桂林〕如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,那么平移后的抛物线解析式是〔 〕
=〔x+1〕2-=〔x+1〕2+=〔x-1〕2+=〔x-1〕2-1
思路分析:首先根据A点所在位置设出A点坐标为〔m,m〕再根据AO=,利用勾股定理求出m的值,然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式.
解:∵A在直线y=x上,
∴设A〔m,m〕,
∵OA=,
∴m2+m2=〔〕2,
解得:m=±1〔m=-1舍去〕,
m=1,
∴A〔1,1〕,
∴抛物线解析式为:y=〔x-1〕2+1,
应选:C.
点评:此题主要考查了二次函数图象的几何变换,关键是求出A点坐标,掌握抛物线平移的性质:左加右减,上加下减.
对应训练
4.〔2021•南京〕以下函数①y=x2;②y=-x2;③y=〔x-1〕2+,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有〔填写所有正确选项的序号〕.
解:原式可化为:y=〔x+1〕2-4,
由函数图象平移的法那么可知,将函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y=〔x+1〕2-4,的图象,故①正确;
函数y=〔x+1〕2-4的图象开口向上,函数y=-x2;的图象开口向下,故不能通过平移得到,故②错误;
将y=〔x-1〕2+2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y=〔x+1〕2-4的图象,故③正确.
故答案为:①③.
【聚焦山东中考】
1.〔2021•泰安〕二次函数y=a〔x+m〕2+n的图象如图,那么一次函数y=mx+n的图象经过〔 〕
、二、、二、四象限
、三、、三、四象限
解:∵抛物线的顶点在第四象限,
∴-m>0,n<0,
∴m<0,
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限,
应选C.
2.〔2021•济南〕如图,二次函数的图象经过〔-2,-1〕,〔1,1〕两点,那么以下关于此二次函数的说法正确的选项是〔 〕
=0时,y的值大于1
=-1时,=-3时,y的值小于0
解:A、由图象知,点〔1,1〕在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误;
B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在〔1,1〕点的左边,故y<1;故本选项错误;
C、对称轴在〔1,1〕的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y的值小于x=-1时,y的值1,即当x=-1时,y的值小于1;故本选项错误;
D、当x=-3时,函数图象上的点在点〔-2,-1〕的左边,所以y的值小于0;故本选项正确.
应选D.
3.〔2021•菏泽〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是〔 〕
.
解:∵二次函数图象开口向下,
∴a<0,
∵对称轴x=<0,
∴b<0,
∵二次函数图象经过坐标原点,
∴c=0,
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点,反比例函数位于第二四象限,
纵观各选项,只有C选项符合.
应选C.
4.〔2021•泰安〕设A〔-2,y1〕,B〔1,y2〕,C〔2,y3〕是抛物线y=-〔x+1〕2+a上的三点,那么y1,y2,y3的大小关系为〔 〕
>y2>>y3>>y2>>y1>y2
解:∵函数的解析式是y=-〔x+1〕2+a,如右图,
∴对称轴是x=-1,
∴点A关于对称轴的点A′是〔0,y1〕,
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,
于是y1>y2>y3.
应选A.
5.〔2021•烟台〕二次函数y=2〔x-3〕2+:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为〔3,-1〕;④当x<3时,〔 〕

解:①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误;
②图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误;
③其图象顶点坐标为〔3,1〕,故本小题错误;
④当x<3时,y随x的增大而减小,正确;
综上所述,说法正确的有④共1个.
应选A.
6.〔2021•日照〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图,给出以下结论:①b2-4ac>0;②2a+b<0;③4a-2b+c=0;④a:b:c=-1:2:〔 〕
A.①②B.②③C.③④D.①④