优化设计的数学模型.doc

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一优化设计问题的示例
优化设计就是借助最优化数值计算措施与计算机技术,求取工程问题的最优设计方案。
优化设计涉及:
(1)必须将实际问题加以数学描述,形成数学模型;
(2)选用合适的一种最优化数值措施和计算程序运算求解。
箱盒的优化设计
已知:制造一体积为100m3,长度不不不小于5m,不带上盖的箱盒,试拟定箱盒的长x1,宽x2,高x3,使箱盒用料最省。
分析:
(1)箱盒的表面积的体现式;
(2)设计参数拟定:长x1,宽x2,高x3;
(3)设计约束条件:
a)体积规定;
b)长度规定;
数学模型:
设计参数:
设计目的:
约束条件:
最大产值生产资源分派问题
某工厂生产A和B两种产品,A产品单位价格为PA万元,B产品单位价格为PB万元。每生产一种单位A产品需消耗煤aC吨,电aE度,人工aL个人日;每生产一种单位B产品需消耗煤b
C吨,电bE度,人工bL个人日。既有可运用生产资源煤C吨,电E度,劳动力L个人日,欲找出其最优分派方案,使产值最大。
分析:
(1)产值的体现式;
(2)设计参数拟定:A产品xA,B产品xB;
(3)设计约束条件:
a)生产资源煤约束;
b)生产资源电约束;
c)生产资源劳动力约束;
数学模型
设计参数:
设计目的:
约束条件:
直齿圆柱齿轮副的优化设计
已知:传动比i,转速n,传动功率P,大小齿轮的材料,设计该齿轮副,使其重量最轻。
分析:
(1)圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的体现;
(2)设计参数拟定:模数(m),齿宽(b),齿数(z1);
(3)设计约束条件:
a)大齿轮满足弯曲强度规定;
b)小齿轮满足弯曲强度规定;
c)齿轮副满足接触疲劳强度规定;
d)齿宽系数规定;
e)最小齿数规定。
数学模型
设计参数:
设计目的:
约束条件:
二优化设计的数学模型
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学体现式,它反映了物理现象各重要因素的内在联系,是进行优化设计的基本。
优化设计的数学模型由优化设计变量、约束条件、目的函数构成。

一种设计方案可以用一组基本参数的数值来表达,这些基本参数可以是构件尺寸等几何量,也可以是质量等物理量,还可以是应力、变形等表达工作性能的导出量。
在设计过程中进行选择并最后必须拟定的各项互相独立的基本参数,称作优化设计变量,又叫做优化参数。
优化设计变量的全体事实上是一组变量,可用一种列向量表达。设计变量的数目称为优化设计的维数,如n个设计变量,则称为n维设计问题。
由n个设计变量x1,x2,…,xn为坐标所构成的实空间称作设计空间。一种“设计”,可用设计空间中的一点表达。
按照产品设计变量的取值特点,设计变量可分为持续变量(例如轴径、轮廓尺寸等)和离散变量(例如多种原则规格等)。
只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1(a)所示的平面直角坐标表达;有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1(b)所示的空间直角坐标表达。
设计空间的维数表征设计的自由度,设计变量愈多,则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多,设计愈灵活,但难度亦愈大、求解亦愈复杂。
小型设计问题:一般具有2—10个设计变量;
中型设计问题:10—50个设计变量;
大型设计问题:50个以上的设计变量。
如何选定设计变量?
任何一项产品,是众多设计变量标志构造尺寸的综合体。变量越多,可以淋漓尽致地描述产品构造,但会增长建模的难度和导致优化规模过大。因此设计变量时应注意如下几点:
(1)抓重要,舍次要。
对产品性能和构造影响大的参数可取为设计变量,影响小的可先根据经验取为试探性的常量,有的甚至可以不考虑。
(2)根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如,圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个,即钢丝直径d,弹簧中径D,工作圈数n和自由高度
H。在设计中,将材料的许用剪切应力和剪切模量G等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧,则可把弹簧中径D作为设计常量。
约束条件
设计空间是所有设计方案的集合,但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一种设计满足所有对它提出的规定,就称为可行设计。
一种可行设计必须满足某些设计限制条件,这些限制条件称作约束条件,简称约束。
约束又可按其数学体现形式提成等式约束和不等式约束两种类型:
(1)等式约束
(2)不等式约束
根据约束的性质可以把它们辨别成:
性能约束——针对性能规定而提出的限制条件称作性能约束。例如,选择某些构造必须满足受力的强度、刚度或稳定性等规定;
边界约束——只是对设计变量的取值范畴加以限制的约束称作边界约束。例如,容许机床主轴选择的尺寸范畴,对轴段长度的限定范畴就属于边界约束。
显式约束、隐式约束
约束函数有的可以表达到显式形式,即反映设计变量之间明显的函数关系,有的只能表达到隐式形式,如例中的复杂构造的性能约束函数(变形、应力、频率等),需要通过有限元等措施计算求得。
可可行域:在设计空间中,满足所有约束条件的所构成的空间。
定义把满足约束条件的解称为可行解(或可行点),所有可行点的集合称为可行集(或可行域),记为D,即约束优化问题可简记为
如图2-3上画出了满足两项约束条件g1(X)=x12+x22—16≤O和g2(X)=2—X2≤0的二维设计问题的可行域D,它位于X2=2的上面和圆x12+x22=16的圆弧ABC下面并涉及线段AC和圆弧ABC在内。

为了对设计进行定量评价,必须构造涉及设计变量的评价函数,它是优化的目的,称为目的函数,以F(X)表达。
在优化过程中,通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调节,最后求得F(X)值最佳或最满意的X值。在构造目的函数时,应注意目的函数必须涉及所有设计变量,所有的设计变量必须涉及在约束函数中。在机械优化设计中,可作为参照目的函数的有:
体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、构造运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、能耗最小、动负荷最小等等。
在最优化设计问题中,可以只有一种目的函数,称为单目的函数。当在同一设计中要提出多种目的函数时,这种问题称为多目的函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中,多目的函数的状况较多。目的函数愈多,设计的综合效果愈好,但问题的求解亦愈复杂。
在实际工程设计问题中,常常会遇到在多目的函数的某些目的之间存在矛盾的状况,这就规定设计者对的解决各目的函数之间的关系。
:
求设计变量向量
使目的函数
满足约束条件:
最优化设计的目的函数一般为求目的函数的最小值。若目的函数的最长处为可行域中的最大值时,则可当作是求[-F(X)]的最小值,由于min[-F(X)]与maxF(X)是等价的。固然,也可当作是求1/F(X)的极小值。
对于复杂的问题,要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到诸多困难,有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住核心因素,合适忽视不重要的成分,使问题合理简化,以易于列出数学模型,这样不仅可节省时间,有时也会改善优化成果。

建立优化设计问题的数学模型一般环节:
1)根据设计规定,应用专业范畴内的现行理论和经验等,对优化对象进行分析。必要时,需要对老式设计中的公式进行改善,并尽可以反映该专业范畴内的现代技术进步的成果。
2)对构造诸参数进行分析,以拟定设计的原始参数、设计常数和设计变量。
3)根据设计规定,拟定并构造目的函数和相应的约束条件,有时要构造多目的函数。
4)必要时对数学模型进行规范化,以消除诸构成项间由于量纲不同等因素导致的数量悬殊的影响。
混合饲料配合
以最低成本拟定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅,这份饲料必须含:%%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定重要配料涉及石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的重要营养成分为:
解:设x1,x2,x3是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量(磅)。根据前面简介的建模要素得出此问题的数学模型如下:
数学模型应改为原则格式如下:

对于最优化问题一般可作如下分类:
尚有其他的某些划分措施:
如按设计变量的性质分:持续变量、离散变量、整数变量规划问题;二次规划、几何规划、随机规划等。
三优化问题的几何解释和基本解法
1几何解释
通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。
例:如下二维非线性规划问题
目的函数等值线是以点(2,0)为圆心的一组同心圆。
如不考虑约束,本例的无约束最优解是:
用图解法求解
解:先画出目的函数等值线,再画出约束曲线,本处约束曲线是一条直线,这条直线就是容许集。而最长处就是容许集上使等值线具有最小值的点。
由图易见约束直线与等值线的切点是最长处,运用解析几何的措施得该切点为,相应的最优值为。
由以上例子可见,对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解,而对三维或高维问题,已不便在平面上作图,此法失效。
2基本解法
求解优化问题的基本解法有:解析法和数值解法
解析法:即运用数学分析(微分、变分等)的措施,根据函数(泛函)极值的必要条件和充足条件求出其最优解析解的求解措施。在目的函数比较简朴时,求解还可以。
局限性:工程优化问题的目的函数和约束条件往往比较复杂,有时甚至还无法用数学方程描述,在这种状况下应用数学分析措施就会带来麻烦。
3、优化设计一般环节