泛函解析总结计划.docx

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泛函解析论文
(数学与计算机科学学院数11赵洁)
大纲:本文简单介绍泛函解析方法的基本理论,以及其在力学和工程的若干
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应用,包含泛函看法下的构造数学理论、直交投影法等。
要点字:泛函解析
前言
泛函解析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映照的分支
学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的,它运用几何学、代数学的看法和方法解析学的课题,可看作无穷维的解析学。


十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是因为欧几里得第五公社的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思虑,最后建立并发展了群论;对数学解析的研究又建立了会集论。这些新的理论都为用同一看法把古典解析的基本看法和方法一般化准备了条件。
本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发布的著作中,出现了把解析学一般化的萌芽。随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的
研究。到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般解析学,也就是泛函解析的基本看法。
因为解析学中好多新部门的形成,揭穿出解析、代数、会集的好多看法和方
法常常存在相似的地方。这种相似在积分方程论中表现的更突出了。泛函解析的产生正是和这种状况相关,都存在着近似的地方。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生同意我们把多变函数用几何学的语言解说成多维空间的影响。这样,就显示出了解析和几何之间相似的地方,同时存在着把解析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何看法进一步推行,以致最后把欧式空间扩大成无量维数的空间。
这时候,函数看法被给予了更为一般的意义,古典解析中的看法是指两个数集之间所建立的某种对应关系。
在数学上,把无穷维空间到无穷维空间的变换叫做算子。研究无穷维线性空
间上的泛函数和算子理论,就生了一门新的解析数学,叫做泛函解析。在二十世纪三十年代,泛函解析就已经成为数学中一门独立的学科了。

泛函解析的特色是它不仅把古典解析的基本看法和方法一般化了,并且还把这些看法和方法几何化了。它既包含了以前谈论过的几何对象,也包含了不一样的函数空间。
泛函解析对于研究现代物理学是一个有力的工具。N维空间可以用来描述详细有n个自由度的力学系统的运动,实质上需要有新的数学工具来描述拥有无量多自由度的力学系统。一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无量自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无量自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具相同,研究无量自由度的系统需要无量维空间的几何学和解析学,这正是泛函解析的基
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本内容。因袭,泛函解析也可以平常的叫做无量维空间的几何学和微积分学。古典解析中的基本方法,也就是用线性的对象去迫近非线性的对象,完整可以运用到泛函解析这门学科中。
泛函解析是解析数学中最“年轻”的分支,它是古典解析看法的推行,它综
合函数论、几何和代数的看法研究无量维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论齐备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来,泛函解析一方面以其余众多学科所供给的素材来提取自己研
究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的好多重要分支,比方算子谱理论、
巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面,它也强有力地推
动着其余许多解析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、
量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立
群上浮停解析理论的基本工具,也是研究无穷个自由度物理系统的重要而自然的
工具之一。今日,它的看法和方法已经浸透到许多工程技术性的学科之中,已成
为近代解析的基础之一。
泛函解析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来,泛函解析在工程技术方面有获取更为有效的应用。它还浸透到数学内部的各个分支中去,起侧重要的作用。

一致有界定理,该定理描述一族有界算子的性质。
谱定理包含一系列结果,此中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
罕-巴拿赫定理(Hahn-BanachTheorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性
泛函看法下的近代构造理论
众所周知,为研究固体均衡与变形,已提出多种模型(三维、二维、一维和
失散模型等)。经典固体理论(弹性、板壳和杆等)立足于上述诸模型求解均衡
与变形的各种详细问题。Oliveira[6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“构造
的数学理论(TheMatrematicalTheoryofStructures)”。该理论不涉及详细
解法,而是用近代泛函工具建立一般的响应模型,观察各详细模型的类同性,并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。
固体响应的一般模型举例
,把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场X=(e,σ)称为构造场。若还满足
称之为既协调又均衡的场称为精确场。记全体构造场的集为X,按
应变和应力分别引入线性运算,而后配上以下泛数
X称为Banach空间。对于任给的系统,X中与之的全部构造场构
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成X的子集。X的全体子集类记为。平时,假定等协调停等
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均衡子集之交仅包含一个元。于是,可建立X的元与笛卡尔积1N的元之间的
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一一对应,X=x(I,E)

。称

为|

外面作用响应

|

空间。由功原理获取的总

能原理
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表示:精确解使

上表达到驻值。周边两个构造场

X和

X+h
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的距离除了用范数定义外,更方便地另行定义为

d(X+h,X)=1/2

,因为此
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时满足
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X中满足

的子集

C称为

X的拘束子集。在

X
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上有连续泛函类

,此中泛函

在每个拘束子集

C上有极小点

s。对给定的

,
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各种拘束子集

C的这种

s之全体构成

X的最小子集

M。若两个构造场属同一
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子集,称它们是的。平时,每个最小子集和拘束子集之交仅一个元,就
是精确解。
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该方法把调停方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子
空间之和:调停函数类和界限上为零的函数类。Minihin在谈论方截面杆的
Saint-Venant
扭转问题时,用本方法详细给出方形域中泊松方程
Dirichlet问
题之解,并证明所算得的最大剪应力之精度胜于
Ritz法。其余还给出一般三维
域中同一问题的解以及本方法对一般方程
Au=0(此中A是下有界、正线性椭圆
微分算子)应用。Maurin解析了微分方程[^|c(x)]u=0
的Dirichlet
问题。他指
出直交投影法和Ritz-Trefftz
法之间的亲近关系。此后Rafalski
把之用于瞬态
热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性,证明了
Maurin所发现的两种方法的关系。
Bessel不等式
中的等号,对应于f的等于它在
生成空间中的直
交投影的情况。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题,以及更一般的各项异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。
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Mikhlin较早地用泛函解析为工具研究直接变分法。此后,

Kato,Noble

等
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的论文中在估量各种界限条件下的弹性板振动频率及其界限时,甚至在更一般背景下研究算子*LL(*L是L的陪同)的理论。这种算子在好多数理方程中出现,
比方调停方程,双调停方程,Sturm-Liouville方程,线弹性方程以及某些Fredholm型积分方程。
Oden和Raddy进一步推行补余变分原理;Sandhu和Pister给出广义Mikhlin变分问题,对于连续统力学中出现的一类线性耦合场问题建立扩大的变分问题。
以上诸研究中,泛函变分为零蕴涵Fréchet导数为零。Tonti指出,与泛函变分问题相关的微分方程中的算子L不用对称。若L非对称,可以另取下述双线性型卷积为内积(Gurtin)思想。
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Raddy利用此双线性卷积及Gateau导数构造粘弹性动向理论的变分原理。该方法可用于流体弹性、在电学、热弹性和其余领域中的静态和动向弹性问题。在初值问题方面,Reiss和Hang观察了极值原理,用抽象算子记号构造了相当一般的最小原理,把一大类线性初值和混杂问题包含在内。其应用包含振动、波传导、热传导,电磁体和粘弹体。Magri推行了Tonti的工作。他证明:对每个线性算子,有无穷多个使该算子对称的双线性型,从而有可能做出相应的变分公式。他已就扩散问题对此作认识释。Collins曾对自共轭算子提出构造补余极值原理的一般过程。Telega把这种思想推行到塑性边值问题。
参照文件
魏国强,数学专题讲选[M].高等教育第一版社第一版书本第二版,北京师范大学第一版社
程其襄,张奠宙等,实变函数与泛函解析基础[M].
北京:高等教育第一版社出师表
两汉:诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂,今日下三分,益州疲弊,此诚紧急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内,忠志之士忘身于外者,盖追先帝之殊遇,欲报之于陛下也。诚宜开张圣听,以光先帝遗德,恢弘志士之气,不宜自轻自贱,引喻失义,以塞忠谏之路也。
宫中府中,俱为一体;陟罚臧否,不宜异同。如有作奸非法及为忠善者,宜付有司论其刑赏,以昭陛下平明之理;不宜偏私,使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等,此皆良实,志虑忠纯,是以先帝简拔以遗陛下:愚认为宫中之事,事无大小,悉以咨之,而后推行,必能裨补阙漏,有所广益。
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将军向宠,性行淑均,晓畅军事,试用于往日,先帝称之曰愚认为营中之事,悉以咨之,必能使行阵友好,好坏得所。

“能”,是以众议举宠为督:
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亲贤臣,远小人,此先汉因此兴旺也;亲小人,远贤臣,此后汉因此倾颓也。先帝在时,每与臣论此事,何尝不痛惜恼恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、从军,此悉贞良死节之臣,
愿陛下亲之、信之,则汉室之隆,可计日而待也。
臣本布衣,躬耕于南阳,苟全性命于乱世,不求闻达于诸侯。先帝不以臣鄙俗,猥自枉屈,三顾臣于草庐之中,咨臣以当世之事,由是感谢,遂许先帝以驱驰。后值颠覆,受任于败军之际,授命于危难之间,尔来二十有一年矣。
先帝知臣慎重,故临崩寄臣以大事也。授命以来,夙夜忧叹,恐交付不效,以伤先帝之明;故五月渡泸,深入不毛。今南方已定,兵甲已足,当奖率全军,北定中原,庶竭驽钝,
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攘除奸凶,兴复汉室,还于旧都。此臣因此报先帝而忠陛下之职分也。至于商酌损益,进尽
忠言,则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效,不效,则治臣之罪,以告先帝之灵。若无兴德之言,则责
攸之、祎、允等之慢,以彰其咎;陛下亦宜自谋,以咨诹善道,察纳雅言,深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感谢。
今当远离,临表涕泣,不知所言。
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