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1.3-1.4 函数的极限无穷小与无穷大.ppt

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数列极限的精确定义
设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的
正数e 总存在正整数N使得当n>N 时不等式
|xna |<e
都成立则称常数a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}
收敛于a记为
如果不存在这样的常数a就说数列{xn}没有极限
0, NN当nN时有|xna|.
极限定义的简记形式
数列极限的精确定义
设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的
正数e 总存在正整数N使得当n>N 时不等式
|xna |<e
都成立则称常数a是数列{xn}的极限或者称数列{xn}
收敛于a记为

例1 根据极限的定义证明:
证明:
当n>N时
例2 根据极限的定义证明:
证明:
当时
证明:
二、收敛数列的性质
1) 唯一性
收敛的数列只有一个极限.
2) 有界性
收敛的数列必定有界.
注意:有界数列不一定收敛.
3) 局部保号性
1) 唯一性如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一.
证明: 用反证法.
假设
当
时,有
当
时,有
同理存在正整数
取
可同时有
矛盾。假设不成立。
根据极限的定义,存在正整数
则当时,*和**同时成立,
2) 有界性如果数列{xn}收敛,那么它一定有界.
证明:
3) 局部保号性
如果
且
那么存在正整数N,当
n>N时,都有
如果
且
那么存在正整数N,当
n>N时,都有
子列
收敛数列与子列之间的关系
如果{xn}收敛到a,则它的任一子列也收敛,
且都收敛到a.
第一章函数与极限(二)
第三节函数的极限
第四节无穷小与无穷大

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