热传导对流微分方程推导.doc

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导热又称热传导,是两个互相接触的物体或同一物体的各部分之间,因为温
度不一样而引起的热量传达现象。此时热量主要依靠分子、原子及自由电子等微观
粒子的运动进行传达,没有明显的物质转移。热量可以经过固体、液体以及气体
进行传导,但是严格来说,单纯的导热只发生在密实的固体物质中。
傅立叶定律
傅立叶定律是导热理论的基础。其向量表达式为:
qgradT(2-1)
式中:q——热流密度,是一个向量,Kcal/(m2h)
gradT——温度梯度,也是一个向量,℃/m。
——导热系数,又称热导率,Kcal/(mhC);
式中的负号表示q的方向一直与gradT相反。
2导热系数(thermalconductivity)及其影响要素
导热系数(Kcal/(mhC))是热传导过程中一个重要的比率常数,在数值上
等于每小时每平方米面积上,当物体内温度梯度为1℃/m时的导热量。
导热系数是指在稳固传热条件下,1m厚的资料,双侧表面的温差为1度(K,°C),
在1秒内,经过1平方米面积传达的热量,用λ表示,单位为瓦/米·度,w/m·k(W/m·K,此处的K可用℃取代)。
导热系数为温度梯度1℃/m,单位时间经过每平方米等温面的热传导热流量。单位是:W/(m·K)。
在上述假设前提下,建立煤层***流动数学模型的控制方程。

在t时刻w界面的温度梯度为
T
x
T
T
T
2Tdx
在t时刻e界面的温度梯度为
xdx
x
x
x
x2
单位时间内六面体在
单位时间内六面体在

方向流入的热流量为:
方向流出的热流量为:

dydz;
x
T2T
dxdydz;
xx2
2T
单位时间内六面体在
W
S

T
t
n
P
we
sx
b
x
B

x2
N
z
y
dxdydz
E
图3-1微分单元体各面上进出流量表示图
Figure3-1Thefigureofflowinandoutoneverysurfaceofdifferentialunit
同理,单位时间内六面体在
y方向流入的净热量为:
2T2
dxdydz
y
单位时间内六面体在y方向流入的净热量为:
2Tdxdydz
z2
单位时间内流入六面体的总热量为:
2T
2T
2T
dxdydz
(3-1)
x
2
y
2
z
2
六面体内介质的质量为:
dxdydz
单位时间六面体内热量的变化量(增添)为:
Cdxdydz
t
依据热量守恒定律:
2T
2T
2T
dxdydz
TCdxdydz
x2
y2
z2
t
2T
2T
2T
TC
x2
y2
z2
t
2T
2T
2T
T
Cx2
y2
z2
t
2T
2T
2T
T
a
2
y2
z2
t
x
a
C
α称为热扩散率或热扩散系数(thermaldiffusivity),单位m^2/s.
λ:导热系数,单位W/(m·K);
ρ:密度,单位kg/m^3
c:热容,单位J/(kg·K).
思虑:假如单元体内有热源:单位体积单位时间的散热量是q方程怎么变?
(导温系数)thermaldiffusioncoefficient;thermal
diffusivity;thermaldegradation
岩石的热扩散率也叫或热扩散系数,表示岩石在加热或冷却时各部分温度趋于一致的能
力。它反响岩石的热惯性特色,是一个综合性参数。热扩散率越大的岩石,热能流传温度趋于一致的速度越大,透入的深度也越大。
热扩散系数一般是依据岩石的导热系数(ramuda)、和密度(rou)的丈量数据计算获取的。
假如单元体内有热源:单位体积单位时间的散热量是
q则在
2T
2T
2T
dxdydz
TCdxdydz左侧增添热源发散的热量
qdxdydz,
x2
y2
z2
t
方程变成:
2T
2T
2T
dxdydz
qdxdydz
T
Cdxdydz
x2
y2
z2
t
2T
2T
2T
q
T
a
y2
z2
t
x2
假如是流体除了热传导外,还有流体流动带入和带出微元体的热量
T
N
t
n
z
P
e
W
w
E
sx
b
y
x
S
B
图3-1微分单元体各面上进出流量表示图
Figure3-1Thefigureofflowinandoutoneverysurfaceofdifferentialunit
在t时刻
w界面流体速度为U,流体温度为T
单位时间流入微元体的流体质量为:dm1udydz
带入微元体的热量为:uTCdydz
e界面流体速度为

u

udx,流体温度为

T

T

dx
x
x
单位时间流出微元体的流体质量为:

dm2

u

u
x

dxdydz
带出微元体的热量为

:

u

u
x

dx

T

T
x

dxCdydz
uTCdydz

uTCdxdydz

u

T

Cdxdydz

C

u

dx

T

dxdydz
x
x
x
x
假如不考虑

x方向速度变化,略去高阶微量,则

e界面带出微
元体的热量为:

uTCdydz

u

T

Cdxdydz
x
单位时间内在

x方向流入六面体的净热流量为:

uC

T

dxdydz;
x
同理,

y方向:

vC

T

dxdydz

z方向:

wC

T

dxdydz
y
z
将上述三项加入到热传导方程(左侧,进入微元体的热量):
2T
2T
2T
dxdydz
T
Cdxdydz
x
2
y
2
z
2
t
2T
2T
2T
T
T
T
T
x
2
y
2
z
2dxdydz
uCdxdydz
vCdxdydzwC
dxdydz
Cdxdydz
x
y
z
t
2T
2T
2T
T
T
T
T
(能量方程)
2
2
2
t
u
v
w
z
x
y
z
x
y

运动着的流体与所接触的固体壁面之间的热量传达过程称为对流换热,它是
流体(液体或气体)因为宏观相对运动,从某一地域迁徙到温度不一样的另一地域时
引起热量传达的现象。固体壁面与流体之间存在温度差将产生对流换热,因为实
际流体的粘性和壁面摩擦的共同影响,近壁流体分层流动,特别与壁面直接接触
的几何面上,总有一层很薄的流体粘附于表面,该层流体处于静止状态,所以热
流经过表面层的传达只好依靠导热。明显,在流体发生热对流的同时,因为流体
中温度分布的不均匀,也将陪同产生导热现象。所以,对流换热过程其实是热
对流和热传导的综合作用过程。
牛顿冷却公式
对流换热过程是一个受很多要素影响的复杂过程,如流体的流动状况、流体
的物理性质、壁的形状和大小、表面粗糙度等。一般状况下对流换热的计算可采
用牛顿冷却公式。依据对流换热定律,可以计算出从壁面某处进入通风风流的显
热热流密度:
qs
(Tw
T)
(3)
式中:Tw=巷道壁面的温度;
=巷道内风流的均匀温度;
=巷道壁面的换热系数。在围岩与风流的热交换过程中,多半是井巷低温风
流流经高温岩壁,井巷壁面向风流放热,所以矿内常把上式中的对流换热系数
2
αTw
T
圆形巷道(柱体)围岩与风流换热控制方程
地热经过围岩向风流的传热现象与围岩自己的热传导、巷道壁面向风流的对流换热以及壁面上的水分蒸发等要素有关。因为实质状况下围岩的散热是一个很复杂的过程,为了方便本论文的研究,对要研究的物理模型做了简化和假设:
巷道为圆形、无穷扩展,围岩岩石均质、各向同性;
不考虑围岩壁面的热辐射作用。
依据上述假设,可获取描述考虑壁面水分蒸发时围岩与风流热质传达的数学
方程,如式(3-1):
T
a(
2T1T)
(r0
rR;t0)
t
r2
rr
T(r,t)t0
T0
(r0
rR)
(3-1)
T(r,t)r
RT0
(t0)
T
(Tw
Ta)fLv(mwma)
(t0)
rr
r0
式中:R——调热圈半径,m;其余符号的意义同前章所述。
RNR
R0
R1
Δθ
PNR
PI-1PIPI+1
0
RI-1RIRI+1
P1
图3-1巷道围岩内节点划分
-1Nodedivisioninsurroundingrock
依据简化的数学模型,可将巷道围岩划分为一系列等间距(R)的齐心圆,取
垂直于长轴的巷道断面角度为,如图3-1所示。