2020年高考数学(理)热点专练11计数原理(解析版).doc

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【命题趋向】
计数原理包括摆列组合与二项式定理,
,主要察看是摆列与组合
,主要考
,总结此些类
型题目的解题方法以及易错点,可以让你在高考取碰到计数原理种类的题目可以水到渠成.
【满分技巧】
捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,看作一个大元素参加摆列.
相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无地点要求的几个元素全摆列,
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.
定序问题缩倍法:在摆列问题中限制某几个元素必然保持必然的次序,可用减小倍数的方
法.
标号排位问题分步法:把元素排到指定地点上,可先把某个元素按规定排入,第二步
再排另一个元素,这样连续下去,挨次即可达成.
有序分派问题逐分法:有序分派问题指把元素分红若干组,可用逐渐下量分组法.
关于二项式定理的应用,只需会求对应的常数项以及对应的n项即可,可是应注意是二项
式系数仍是系数.
【察看题型】选择题
【限时检测】(建议用时:
35分钟)
2x
4
2
3
4
1.(2019·广西高三月考)
1
a0a1x1a2x1
+a3x1+a4x
1等
式中,则a1+a2+a3+a4
(
)




【答案】B
【分析】
【分析】
分别令x1,x2代入原式,即可求出结果.
【详解】
4
a0
2
3
4
由于2x1
a1x1a2x1+a3x1+a4x1
令x
1,可得
2
1
4
1;
a0,即a0
令x
2,可得:
4
4
a
a+a+a,即a0
a1
a2+a3+a481,
1a
0
1
2
3
4
所以a1+a2+a3+a4
81180.
应选:B
【名师点睛】本题主要察看二项式定理的应用,熟记二项式定理即可,属于常考题型.
1
6
2.(2019·广西柳州一中高三月考)
12x2
x
张开式中,含
x2项系数是()
x
A.-40
B.-25


【答案】B
【分析】
【分析】
写出二项式x

1
x

6
的张开式中的通项,此后察看含x2的项有两种组成,一种是
6
6
12x2
中的1与x
1
中的二次项相乘获得,
一种是1
2x2
中的2x2与x
1
x
x
中的常数项相乘获得,将系数相加即可得出结果.
【详解】
1
6
C6kx6k1
k
二项式
x
的张开式中的通项
Tk1
(1)kC6kx62k,含x2的项的系
x
x
数为(
1)2C62
2(1)3C63
25
,应选B.
【名师点睛】本题主要察看二项式定理的应用,二项张开式的通项公式,二项式系数的性
质,属于基础题.
3.(2019·湖南高二期中(理))
9件产品中,有4
件一等品,
3件二等品,2件三等品,
此刻要从中抽出
4件产品来检查,最罕有两件一等品的种数是(
)
2
2
2
3
4
A.?????
B.??+??+??
4
5
4
4
4
2
2
2
2
3
1
4
0
C.??4
+??
D.??4
???+?????+??4
???
5
5
4
5
5
【答案】D
【分析】
试题分析:有两件一等品的种数
2
2
,有三件一等品的种数
3
1
,有四件一等品的种数
??4
??5
??4
??5
4
0
2
2
????,所以最罕有两件一等品的种数是
?????
4
5
4
5

3
1
4
+?????+??
4
5
4
0,应选D.
???
5
考点:组合的应用.
4.(2019·四川高三月考(理))1
x
2x2
1
4
x
3的项的系数为(
x
的张开式中含
)




【答案】D
【分析】
【分析】
1
x2x2
1
4
1
4
x1
4
2x2
1
4
将二项式变形后得出
x
x
x
x,得出其展
开式通项为C4rxr
C4m
xm1
2C4n
xn2
,此后令
rm
1n
2
3
,求出r、m、
的值,再代入张开式通项可得出张开式中含x3项的系数.
【详解】
Q1x2x2
4
1x2x2
4
4
4
2x2
4
1x
1x
1x
x1x
1x
,
其张开式通项为
C4rxr
xC4mxm
2x2C4nxn
C4rxr
C4m
xm1
2C4n
xn2
,
令rm1n23,得r3,m
2,n1,
所以,张开式中含
x3的系数为C43
C42
2C41
462
4
6,应选:D.
【名师点睛】本题察看二项张开式中指定项系数的求解,
一般先得出其张开式通项,
依据
x的指数求出参数的值,代入计算即可,察看运算求解能力,属于中等题
.
5.(2019·上海华师大二附中高三)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四周体
“
”,
ABCD
A1B1C1D1的极点为极点的
“”
)
称为鳖臑
则以正方体
鳖臑的个数为(




【答案】B
【分析】每个极点对应6个鳖臑,,
再除2.
【详解】当极点为A时,三棱锥A﹣EHG,A﹣EFG,A﹣DCG,A﹣DHG,A﹣BCG,
A﹣BFG,为鳖臑.
所以8个极点为8×6=,.
应选:B.
6.(2019·山东高三月考)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需重要固轮胎的五个螺栓,
记为A、B、C、D、E(在正五边形的极点上),紧固时需要按必然的次序固定每一
个螺栓,但不可以连续固定相邻的两个,则不同样固定螺栓次序的种数为()




【答案】C
【分析】
正五边形ABCDE,考虑先固定
A,第二步只好固定
C或D,挨次确立第三步和第四第
五步,共两种次序,同理先固定其余四个地点各两种,一共十种次序.
【详解】
本题相当于在正五边形ABCDE中,对五个字母排序,要求五边形的随意相邻两个字母不
能排在相邻地点,
考虑

A放第一个地点,第二步只好

C或

D,挨次

ACEBD

或

ADBEC

两种;
同理分别让

B、C、D、E放第一个地点,分别各有两种,一共十种不同样的次序

.
应选:

C
【名师点睛】本题察看计数原理的应用,需要弄清达成一件事情是经过怎样分类或分步完
成,适合的状况以下举出部分基本状况对解题大有帮助

.
7.(2018·河南高考模拟(理))若(12018x)2017

a0

a1x

a2x2

La2017x2017

(x

R)

,
则
a1
a2
L
a2017
的值为(
)
2018
2017
2018
2018




【答案】D
【分析】分析:先由题意求得a0
1
,再令x
1
,可得
a1
a2
a2017
2018
2018
L
2018
20182017
的值.
2017
a0
a1x
a2x2
La2017x2017
x
R,
详解:依据12018x
令x
0
,可得a0
1.
再令x
1
,可得
2018
1
a1
a2
a2017
0,故a1
a2
a2017
1,
2018
2018
20182017
2018
2018
20182017
应选D.
8.(2019·湖南长沙一中高三月考(理))中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出
生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种,
现有十二生肖的吉物各一个,甲、乙、丙三位同学挨次选一个作为礼品,甲同学喜爱牛和
马,乙同学喜爱牛、兔、狗和羊,丙同学哪个祥瑞物都喜爱,假如让三位同学采纳的礼品
都满意,那么不同样的选法有( )

【答案】C
【分析】
【分析】依据题意,按同学甲的选择分2种状况讨论,求出每种状况的选法数量,由加法
原理计算可得答案.
【详解】
依据题意,分2种状况讨论:
假仿佛学甲选牛,那么同学乙只好选兔、狗和羊中的一种,
丙同学可以从剩下的10种中随意选,
1
1
∴选法有C3
C1030种;
假仿佛学甲选马,那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种,
11
丙同学可以从剩下的10种中随意选,∴选法有种C4C1040,
不同样的选法共有304070种,应选C.
【名师点睛】
本题主要察看摆列、组合的应用,波及分类计数原理的运用,属于基础题.
9.(2019·湖北高二期末)《红海行动》是一部现代海军题材电影,该片表达了中国海军“蛟
龙突击队”,海军舰长要求队员们挨次达成六项任
务,并对任务的次序提出了以下要求:要点任务A必然排在前三位,且任务E、F必然
排在一同,则这六项任务的不同样安排方案共有()


C.
156种

【答案】D
【分析】
当E,F排在前三位时,N1
(A22A22)A33
=24,当E,F排后三位时,N2
(C31A32)(A22A22)=72,
当E,F排3,4位时,N3
(C21A31)A22A22
=24,N=120种,选D.
二、填空题

8
ax3
a4x4
a5x5
a6x6
a7x7
a8x8,
aaxax2
0
1
2
3
则a12a2
4a4
5a56a6
7a7
8a8
_______.(用数字作答).
【答案】
5368
【分析】
【分析】
同样式x
8
a
ax
ax2
ax3
a4x4
a5x5
a6x6
a7x7
a8x8两边同时求
2
0
1
2
3
导得8x
7
a1
2a2x3a3x2
4a4x3
5a5x4
6a6x5
7a7x6
8a8x7,令x
1,
2
和独自求出a3,代入可得结果.
【详解】
解:Q
8
a0
a1xa2x2
a3x3
a4x4
a5x4
a6x6
a7x7
a8x8,
x2
8x2
7
2a2x3a3x2
4a4x3
5a5x4
6a6x5
7a7x6
8a8x7,
a1
令x
1,有8
1
2
7
2a
3a
4a
5a5
6a6
7a7
8a8,
a
1
2
3
4
即a1
2a2
3a3
4a4
5a5
6a6
7a7
8a8
8.
又a3
C8525
1792,
故所求值为8179235368.
故答案为:5368
【名师点睛】
本题察看二项张开式系数的有关计算,要点在于对张开式两边同时求导,和利用赋值法,
是中档题
11.(2019·北京高考模拟(理))2019年3月2日,昌平“回天”地域张开了7种不同样种类
的“三月雷锋月,回天有我”、又在下午张开,
3种活动只在上午张开,,且分别
安排在上、下午,那么不同样安排方案的种数是___________.
【答案】18
【分析】
【详解】
小王参加的是两种不同样的活动,有
2种活动既在上午张开、又在下午张开,
(1)设小王没参加既在上午张开、
又在下午张开的
2种活动,则有:C31
C21
=6种方案;
(2)设小王参加了既在上午张开、又在下午张开的
2种活动,
(a)上午参加了既在上午张开、又在下午张开的
2种活动之一,则有:
C21
C21
=4种方
案;
(b)下午参加了既在上午张开、又在下午张开的
2种活动之一,则有:
C31
C21
=6种方
案;
(c)上下午都参加了既在上午张开、又在下午张开的
2种活动,则有:C21
C11
=2种方
案;
所以,不同样的安排方案有:
6+4+6+2=18种.
【名师点睛】
本题主要察看分类加法计数原理,分步乘法计数原理等知识,意在察看学生的转变能力和
计算求解能力.
12.(2019·北京清华附中高考模拟(理))《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人
生自有诗意”的主题下,十场竞赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合
下,百人团齐声朗读,《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游
子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》
的前面,《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后,则后六场的排
法有__________种.(用数字作答)
【答案】144
【分析】
【分析】
由特别地点优先办理,先排最后一个节目,共
C41
4(种),相邻问题由捆绑法求解即剩
余五个节目按A与F不相邻排序,共A55
A22A44
72(种)排法,
定序问题用倍缩法求解即可
B排在D的前面,只需除以A22即可,
【详解】
《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘
山》,
分别记为A,B,C,D,E,F,
由已知有B排在D的前面,A与F不相邻且不排在最后.
第一步:在B,C,D,E中选一个排在最后,共C414(种)选法
第二步:将节余五个节目按A与F不相邻排序,共A55A22A4472(种)排法,
第三步:在前两步中B排在D的前面与后边机会相等,则B排在D的前面,只需除以A22
2即可,
即六场的排法有4×72÷2=144(种)
故答案为:144.
【名师点睛】
本题察看了摆列、组合及简单的计数原理,属中档题.
13.(2019
·山东高三月考)设(1
ax)2018
a0
a1xa2x2L
a2018x2018
,若
a12a2
3a3
2018a2018
2018a
a
0,则实数a
________.
【答案】
2
【分析】
【分析】
将左右两边的函数分别求导,取x1代入导函数获得答案.
【详解】
(1ax)2018a0a1xa2x2La2018x2018
两边分别求导:
2018a(1ax)2017a12a2xL2018a2018x2017
取x1
2018a(1a)2017a12a2L2018a20182018a
a2
故答案为

2
【名师点睛】
本题察看了二项式定理的计算,对两边求导是解题的要点.
三、解答题
14.(2019·天津实验中学高考模拟(理))(10分)盒中共有

9个球,此中有

4个红球,
3个黄球和

2个绿球,这些球除颜色外完满同样

.
(1)从盒中一次随机抽出

2个球,求拿出的

2个球的颜色同样的概率;
(2)从盒中一次随机抽出

4个球,此中红球、黄球、绿球的个数分别为

x1,x2

,x3,随机
变量

X

表示

x1,x2

,x3的最大数,求

X

的概率散布和数学希望

E(X).
【答案】(

1)

5

;(2)

E(X)

20

.
18
9
【分析】
试题分析:(1)从

9个球中抽

2个球共有

C92

36种方法,而两个球同色,可能同为红,
同为黄或同为绿,方法为

C42

C32

C22

10,概率为

P

10

5

;(2)第一抽

4个球
3618
中,红、黄、绿色球的个数最罕有一个不小于

2,所以

X

的可能值为

2,3,4,

X

4,
说明抽出的

4个球都是红球,

X

3,说明抽出的

4个球中有

3个红球、

1个其余色或许
3个黄球、

1个其余色,

X

2说明

4个球中

2个红球、其余两色各

1个,或

2个黄球、
其余两色各
1
个,或
2
个绿球、其余两色各
1个,自然求
P(X2)时,可用
P(X2)P(X3)
P(X
4)
1来求.
试题分析:
(1)由题意
P
C42
C32
C22
5
C92
;
18
(2)随机变量X的取值可能为
2,3,4
,
P(X
4)
C44
1
,
C94
126
P(X
3)
C43C51
C33C61
13
,
C94
63
P(X
2)
1
P(X
3)
P(X
4)
11
,
14
所以X的散布列为
X
2
3
4
11
13
1
P
63
126
14
E(X)2
14
3134
1
20
.
63
126
9
【考点】摆列与组合,失散型随机变量的散布列与均值(数学希望)
.
15.(2019·河北阜平中学高二月考(理))
(1)在(1+x)n的张开式中,若第
3项与第6项系
数相等,则n等于多少?
1
n
+
的张开式奇数项的二项式系数之和为
128,求张开式中二项式系数最大
(2)xx
3x
项.
【答案】(1)n=7(2)70x43x2
【分析】(1)由已知得Cn2=Cn5得n=7.
(2)由已知得Cn0+Cn2+Cn4+=128,2n-1=128,n=8,