2020版一线高考理科数学一轮复习教学案第10章第3节随机事件的概率古典概型与几何概型含.doc

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[考纲传真],认识概率的意义及

,.

在同样的条件下,大批重复进行同一试验时,随机事件
A发生的频率fn
=nA会
(A)
n
在某个常数周边摇动,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.

名称
定义
符号表示
包含关系
假如事件A发生,则事件B必定发生,这时称事
件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
相等事件
若B?A,且A?B,则称事件A与事件B相等
并(和)事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则
称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发
交(积)事件
生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积
事件)
互斥事件
若A∩B为不行能事件,则称事件A与事件B互
斥
若A∩B为不行能事件,A∪B为必然事件,那么
对峙事件
称事件A与事件B互为对峙事件

B?A(或A?
B)
A=B
A∪B(或A+
B)
A∩B(或AB)
A∩B=?
A∩B=?
且A∪B=U(U为全集)

(1)任何事件A的概率都在[0,1]内,即0≤P(A)≤1,不行能事件?的概率为0,必然事件Ω的概率为1.
(2)假如事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
–

–
(3)事件

A与它的对峙事件

A的概率满足

P(A)+P(A)=1.

名称古典概型几何概型
同样点基本领件发生的可能性相等
不一样点基本领件有有限个基本领件有无穷个
计算公式
[常用结论]
假如事件A1,A2,,An两两互斥,则称这n个事件互斥,其概率有以下公式:
P(A1∪A2∪∪An)=P(A1)+P(A2)++P(An).
[基础自测]
1.(思虑辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率预计概率.
(2)在大批的重复实验中,概率是频率的稳固值.

(
(

)
)
(3)对峙事件必定是互斥事件,互斥事件不必定是对峙事件.( )
(4)概率为0的事件必定为不行能事件.( )
[答案](1)√(2)√(3)√(4)×
,结果以下:
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次,击中靶心的概率约是
(
)

[由题意,,.
应选C.]
3.(教材改编)扔掷两枚均匀的硬币,则两枚硬币均正面向上的概率是( )
1
1
1
3




1
1
1
A
[P=2×2=4,应选A.]
4.(教材改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上边扔一颗玻璃小球,若小
球落在暗影部分,则可中奖,小明要想增添中奖机遇,应选择的游戏盘是( )
3221
A[P(A)=8,P(B)=8,P(C)=6,P(D)=3,
∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B).]
,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={最少有一次击中飞机},此中相互互斥的事件是________,互为对峙事件的是________.
A与B,A与C,B与C,B与DB与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有状况,由于A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?,故A与B,A与C,B与C,∩D=?,B∪D=I,故B与D互为对峙事件.]
随机事件的频率与概
率
【例1】(2017·全国卷Ⅲ)某商场计划按月订购一种酸奶,每天进货量同样,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价办理,,每天需求量与当天最高气温(单位:℃),需求量为500瓶;假如最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;假如最高气温低于20,,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下边的频数分布表:
最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率取代最高气温位于该区间的概率.
(1)预计六月份这类酸奶一天的需求量不超出300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这类酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这类酸奶一天的进
货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并预计Y大于零的概率.
[解](1)这类酸奶一天的需求量不超出300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表
2+16+36
格数据知,最高气温低于25的频率为=,所以这类酸奶一天的需求量不90
.
(2)当这类酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率
36+25+7+4
为=,.
[规律方法],概率是常数,是频率的稳固值,频率是变量,
.
,利用概率的统计定义求事件的概率,即经过大批的重复试
验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
易错警示:概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
(2019·郑州模拟)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该
商品可获取利润50元,若供大于求,节余商品所有退回,但每件退回商品损失10元;
若供不应求,则从外面调剂,此时每件调剂商品可获取利润30元.
(1)
若商店一天购进该商品
10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天的需求量n(单
位:件,n∈N*)的函数分析式;
(2)
商店记录了50天该商品的日需求量n(单位:件),整理得下表:
日需求量n/件
8
9
10
11
12
频数
9
11
15
10
5
(ⅰ)假设商店在这50天内每天购进10件该商品,求这50天的日利润的均匀数;
(ⅱ)若商店一天购进10件该商品,以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率,求当天的利润大于500元的概率.
[解](1)当天需求量n≥10时,利润y=50×10+(n-10)×30=30n+200;
当天需求量n<10时,利润y=50×n-(10-n)×10=60n-100.
所以日利润y关于日需求量n的函数分析式为
*
30n+200n≥10,n∈N,
y=
*
60n-100n<10,n∈N.
(2)(ⅰ)由(1)及表格可知,这50天中有9天的日利润为380元,有11天的日利润
为440元,有15天的日利润为500元,有10天的日利润为530元,有5天的日利润为560元,
1
所以这50天的日利润的均匀数为50×(380×9+440×11+500×15+530×10+
560×5)=(元).
(ⅱ)若当天的利润大于500元,则日需求量大于10件,
10+53
则当天的利润大于500元的概率P=50=10.
古典概型
【例
2】(1)(2018全·国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了
“每个大于
2
的偶数可以表示为两个素数的和”,
如30=7+
的素数中,随机采用两个不一样的数,其和等于
30的概率是
( )
1
1


1
1


(2)(2017全·国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5
张卡片中随机抽取1张,放回后再随
机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
(
)
1
1


3
2


(1)C
(2)D[(1)不超出30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机
采用两个不一样的数有C102种不一样的取法,这
10个数中两个不一样的数的和等于
30的有3
3
1
对,所以所求概率P=2=,应选C.
C10
15
(2)从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的状况如图:
基本领件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10,
2
∴所求概率P=25=5.
应选D.]
[规律方法]:1计算基本领件总个数n;2计算事件A所包含的基本领件的个数m;3代入公式求出概率P.
,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不
漏.
利用摆列、组合计算基本领件时,必定要分清能否有序,并重视两个计数原理的灵巧应用.
(1)(2019武·汉模拟)将7个同样的小球投入甲、乙、丙、丁4
个不一样的
小盒中,每个小盒中最少有
1个小球,那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(
)
3
2


3
1


(2)(2018
石·家庄一模
用
1,a2,a3,a4,
)
1,2,3,4,5构成无重复数字的五位数,若用a
5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,则出现
a1<a2<a3>a4>a5特色
a
的五位数的概率为________.
1
[(1)将7个同样的小球投入甲、乙、丙、丁
4个不一样的小盒中,每个
(1)C(2)20
小盒中最少有1个小球有C63种放法,甲盒中恰好有3个小球有C32种放法,结合古典概
2
3
C3
型的概率计算公式得所求概率为
C63=
.
5
个不一样的五位数,此中满足题目条件的五位数中,最
(2)1,2,3,4,5
可构成5=120
A
大的5一定排在中间,左、右各两个数字只要选出,则摆列地址就随之而定,满足条
2
2
6
1
件的五位数有C4C2=6
个,故出现a1<a2<a3>a4>a5
特色的五位数的概率为
120=20.]
几何概型
【例3】(1)(2016全·国卷Ⅰ)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在
50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间

7:
不超出

10分钟的概率是

(

)
1


1

2

3



(2)(2018

合·肥二模)小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午

5:00

到

6:
00之间送货上门,已知小李下班到家的时间在下午

5:30到

6:
李家时,假如小李未到家,,
则快递员等小李回来;不然,
品的概率为( )
1
8


5
7


(3)已知在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=
2
2,此刻该四棱锥内部或表面任取一点
O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于3的概率为
________.
27
[(1)这是几何概型问题,总的基本领件空间以以下图,共40
(1)B(2)D(3)64
分钟,等车时间不超出
10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20
分钟,故他等车时间不超出10分钟的概率为20=
1,应选B.
40
2
(2)如图,设快递员和小李分别在下午5点后过了x分钟和y分钟到小李家,则所有结果构成的地域为{(x,y)|0≤x≤60,30≤y≤60},这是一个矩形地域,y-x>10表示小李比快递员晚到超出10分钟,事件M表示小李需要去快递柜领取商品,其所构成
y=60,
的地域是以以下图的直角梯形ABCD的内部地域及界限(不包含AB),由
y=x+10,
x=50,
y=30,
x=20,
可得
即A(50,60),由
可得
即B(20,30),所以由几何
y=60,
y=x+10,
y=30,
1×50+20×30
=7,应选D.
概型的概率计算公式可知
P(M)=
2
×
30
12
60
2
1
2
(3)当四棱锥O-ABCD的体积为
3时,设O到平面ABCD的距离为h,则
3×2
×h
2
1
=3,解得h=2.
以以下图,在四棱锥
P-ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD,且平面EFGH
ABCD的距离为
1
与底面
2.
由于PA⊥底面ABCD,且PA=2,所以PH=
3,
PA
4
所以四棱锥O-ABCD的体积不小于
2
V四棱锥P-EFGH
PH3
=
33
27
的概率P=
=
PA
4
=
64.]
3
V四棱锥P-ABCD
[规律方法]解答几何概型试题要擅长依据题目特色找寻基本领件所在线、面、体,
找寻随机事件所在的线、面、体,把几何概型的计算转变成相应的长度、面积和体积
的比值的计算.
在线段上取点,则点在线段上等可能出现;在角内作射线,则射线在角内的分布等可能.
两个变量在某个范围内取值,对应的“地域”是面积.
(1)随机地取两个实数x和y,使得x∈[-1,1],y∈[0,1],则满足y≥x2
的概率是(
)
1
2


1
3


(2)以以下图,在等腰直角三角形
ABC中,过直角极点C在∠ACB内部任作一条
射线CM,与AB交于点M,则AM<AC的概率为________.
3
[(1)满足x∈[-1,1],y∈[0,1]的地域为矩形地域(包含界限)(图略),面
(1)B(2)4
4
2
的地域的面积S=
2
1
3
1
4
3
积为2,满足y≥x
1-1(1-x
=x-x
-1=,故所求概率P=
)dx
3
3
2
2
=.
180°-45°
(2)在AB上取AC′=AC(图略),则∠ACC′==°,
2
记A={在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M,AM<AC},则所有可能结果的地域为∠ACB,
事件A构成的地域为∠ACC′.
又∠ACB=90°,∠ACC′=°,
°3
∴P(A)=90°=4.]
1.(2018·全国卷Ⅰ)
三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形

ABC

的斜边

BC,直角边

AB,
AC.△ABC

的三边所围成的地域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其他部分记为Ⅲ

.在整个图
形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为

p1,p2,p3,则(

)
==p3
==p2+p3
[设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则地域Ⅰ的面
1
1
c2
1b
2
π×
a
2
积即△ABC的面积,为S1=
π×
+
2
1
,地域Ⅱ的面积
2=
2π×2
-
2bc
S
2
2
2
-2bc
1
2
2
2
+
1
1
1=S2,由几何概型的知识知p1=p2,应选A.]
=π(c+b-a
=
,所以
8
)
2bc
2bc
S
2.(2017·全国卷Ⅰ)如图,

点,则此点取自黑色部分的概率是( )
1
π


1
π


B
[不如设正方形ABCD的边长为2,则正方形内切圆的半径为
1,可得S正方形=
4.
1
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S黑=S白=2S圆=
π
π
π
S2
黑
2,所以由几何概型知所求概率
P=S正方形=4=
8.
应选B.]
3.(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,,xn,y1,y2,,yn,
构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn),此中两数的平方和小于
1的数对共有m
个,则用随机模拟的方法获取的圆周率
π的近似值为( )
4n
2n


4m
2m


[由于x1,x2,,xn,y1,y2,,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n
个数对(x1,y1),(x2,y2),,(xn,yn)都在正方形OABC内(包含界限),
两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包含扇形圆弧上的点所对应的数
S扇形
m
πm
对),=n,即
4=n,所
4m
以π=n.]