08高等数学讲义 第八章.doc

数学应考必备
第八章无穷级数(数学一和数学三)
引言:所谓无穷级数就是无穷多项相加,它与有限项相加有本质不同,历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如:
历史上曾有三种不同看法,得出三种不同的“和”
第一种
第二种
第三种 设
则

这种争论说明对无穷多项相加,缺乏一种正确的认识。
什么是无穷多项相加?如何考虑?
无穷多项相加,是否一定有“和”?
无穷多项相加,什么情形有结合律,什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
§ 常数项级数
内容要点
一、基本概念与性质
1. 基本概念
无穷多个数依次相加所得到的表达式称为数项级数(简称级数)。
()称为级数的前n项的部分和,
称为部分和数列。
不存在,则称级数是发散的,发散级数没有和的概念。(注:在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和,但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。)
2. 基本性质
(1) 如果
(2) 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
(3) 收敛级数具有结合律,也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛,而且其和不变。发散级数不具有结合律,引言中的级数可见是发散的,所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
(4) 级数
(注:引言中提到的级数,因此收敛级数的必要条件不满足,发散。调和级数满足却是发散的,所以满足收敛级数的必要条件,而收敛性尚不能确定。)

(1)等比级数(几何级数)

当时,收敛
当时,发散
(2)p一级数
当p>1时,收敛, 当p1时发散
(注:p>1时,的和一般不作要求,但后面用特殊的方法可知)
二、正项级数敛散性的判别法
则称为正项级数,这时是单调
加数列,它是否收敛就只取决于是否有上界,因此有上界,这是正项级数
比较判别法的基础,从而也是正项级数其它判别法的基础。
1. 比较判别法
收敛,则收敛;如果发散,则发散。
2. 比较判别法的极限形式
设 若
当0<A<+时,与同时收敛或同时发散。
当A=0时,若收敛,则收敛。
当A=+时,若收敛,则收敛。
(达朗倍尔)
设>0,而
当<1时,则收敛
当>1时(包括=+),则发散
当=1时,此判别法无效(注:如果不存在时,此判别法也无法用)
(柯西)
设0,而
当<1时,则收敛
当>1时(包括=+),则发散
当=1时,此判别法无效
事实上,比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论,应用时,根据所给级数的形状有不同的选择,但它们在=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法,但较复杂,对考研来说不作要求。
三、交错级数及其莱布尼兹判别法

若>0, 称为交错级数。

设交错级数满足:
1)
2) =0 ,则收敛,且0<<
四、绝对收敛与条件收敛

若收敛,则一定收敛;反之不然。

若收敛,则称为绝对收敛;
若收敛,而发散,则称为条件收敛。

1)绝对收敛级数具有交换律,也即级数中无穷多项任意交换顺序,得到级数仍是绝对收敛,且其和不变。
2)条件收敛级数的正项或负项构成的级数,即(+)或(—)一定是发散的。

设
当>1时,是绝对收敛的
当0<1时,是条件收敛的
当0时,是发散的
典型例题
主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性
判定下列级数敛散性,若收敛并求级数的和。
1) 2)
1)解:的
=
1
,收敛
2)解: ①
②
①-②得
=
3 =3,收敛
设数列收敛
证:由题意可知

而
=
因此,
于是级数=是收敛的
主要用判别法讨论级数的敛散性
设级数收敛,则收敛
解:(几何平均值算术平均值)
已知
再用比较判别法,可知收敛
正项数列单调减少,且发散,问是否收敛?并说明理由。
解:
,
由等比级数收敛和比较判别法可知收敛。
设
(1)求的值。 (2)证明:对任意正常数收敛。
证明:(1)
==1
(2)
<
<
收敛,由比较判别法可知收敛。
设有方程
当>1时,级数收敛。
所以当>1时,级数收敛。
§ 幂级数
(甲)内容要点
一、函数项级数及其收敛域与和函数(数学一)
1. 函数项级数的概念
设皆定义在区间I上,则称为区间I上的函数项级数。
2. 收敛域
设,如果常数项级数收敛,则称是函数项级数的收敛点,如果发散,则称是的发散点。函数项级数的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。
3. 和