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三元一次方程组解法列举
人教版义务教育课程标准实验教科书“”是新添的内容。目的是通过解三元一次方程组进一步体会消元——代入消元、加减消元的思想方法,同时为二次函数等知识的学****做一定的准备。
“”是选学内容,是学生具备二元一次方程组这一基础知识后的拓展内容。三元一次方程组作为刻画现实问题的数学模型之一,它含有三个未知数,如何消元,先消哪个元是需要认真思考的。如何正确、灵活求解三元一次方程组是值得探究的问题。
在教学中,解决方程组的基本指导思想就是“消元”。而消元时,教师应注意引导学生先考虑好消去哪个未知数,再具体使用加减法和代入法进行消元,即根据不同的方程组结构特点,采取相应的消元策略是至关重要的。以此逐步培养学生分析题目特点、选择合适方法的学****能力。
本文在教学的基础上,将三元一次方程组的解法通过题目的特点进行归类教学,使学生在学****的过程中注意对基础知识进行提炼、归纳、整理,对基本解法的清晰认识,通过必要的练****达到掌握基础知识和提高基本技能的目的。
一、三元一次方程组之特殊型
例1:解方程组
分析:方程③是关于x的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”的目标。
解法1:代入法,消x.
把③分别代入①、②得
解得
把y=2代入③,得x=8.
∴是原方程组的解.
根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:
类型一:有表达式,用代入法型.
针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2:消z.
①×5得 5x+5y+5z=60 ④
④-②得 4x+3y=38 ⑤
由③、⑤得
解得
把x=8,y=2代入①得z=2.
∴是原方程组的解.
根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:
类型二:缺某元,消某元型.
例2:解方程组
分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等,即系数和相等。具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解:由①+②+③得4x+4y+4z=48,
即x+y+z=12 .④
①-④得 x=3,
②-④得 y=4,
③-④得 z=5,
∴是原方程组的解.
典型例题举例:解方程组
解:由①+②+③得2(x+y+z)=60 ,
即x+y+z=30 .④
④-①得 z=10,
④-②得 y=11,
④-③得 x=9,
∴是原方程组的解.
根据方程组的特点,由学生归纳出此类方程组为:
类型三:轮换方程组,求和作差型.
例3:解方程组
分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的经验,学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x; 由x:z=1:7得z=,即,根据方程组的特点,学生可选用“有表达式,用代入法”求解。
解法1:由①得y=2x,z=7x ,并代入②,得x=1.
把x=1,代入y=2x,得y=2;
把x=1,代入z=7x,得 z=7.
∴是原方程组的解.
分析2:由以往知识可知遇比例式时,可设一份为参数k,因此