线性代数试题1及答案.pdf

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一、填空题(每小题2分,共50分)
aa,则Da(1);
nijnij
2x11
xxxx中x3的系数是(2)
12x
x2xx2,
123
x3x1,,其系数矩阵A=(3);
123
xxx0.
123
n1n2321的逆序数等于(4);
(5)项,正负号由(6)决定.
n
|A|,当i=j,时,aA(7).
kikj
k1
:系数行列式不等于0和(8).
,且其系数矩阵的秩为r,则当(9)时,
方程组有无穷多解.
,一个数字行列式经过计算可求得其值,而
矩阵仅仅是(10),它的行数和列数可以不同.
(11)时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.
,则|A-1|=(12).
A
1
A
2,|A|=(13).


A
s
:反身性、(14)、传递性.
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(15)、rk、(16)三种.
i
,非0行的行数就是矩阵的
秩,可逆矩阵的秩等于(17),故可逆矩阵又称为满秩矩阵.
=0,当(18)只有0解,非奇次线性方程组
Ax=b,当(19)有唯一解,当(20)没解.
.用阶初等矩阵左乘矩阵,相当于对实施()
17mEm(i(k))A=(aij)mxnA21
变换.

18.x(x,x,,x)Taxaxaxb称为叫做n维向量空
12n1122nn
间中(22).
,当(23)时该向量组线性相关.
:(24).
=0的基础解系,需要证明三个结论(:a)
该组向量都是方程组的解、(b)(25)、(c)方程组的任何一
个解都可以由该向量组线性表示.
二、计算题(每小题10分,共30分)
xaaaa
123n
axaaa
123n
aaxaa.
n1123n

aaaax
1234
021

112.

111
101

2,2,0.
123
352
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三、证明题(第1题10分,第2题10分)

1111
xxxx
123n
x2x2x2x2
D123n
n
xn2xn2xn2xn2
123n
xnxnxnxn
123n
xxxxx,n2
12nij
1jin
是非齐次线性方程组AXB的一个解,,,是对应奇次方程组
1nr
AX:
(1),,,线性无关;
1nr
(2),,,是方程组AXB的nr1个线性无关的解.
1nr
(3)方程组AXB的任一解X,都可以表示为这nr1个解的线性组合,
而且组合系数之和为1.
参考答案
一、填空题(每小题2分,共50分)
(1)(1)na;
(2)-2;
121
(3)213;
111
nn1
(4);
2
(5)n!;
第3页(共7页)
(6)下标排列的逆序数;
(7)|A|;
(8)方程组中未知数个数与方程个数相等;
(9)rn;
(10)数表;
(11)第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;
(12)A1;
(13)AAA;
12s
(14)对称性;
(15)rr;
ij
(16)rkr;
ij
(17)阶数;
(18)RAn;
(19)RAR(B)n;
(20)RAR(B);
(21)第二种初等行变换rk;
i
(22)超平面;
(23)0;
(24)相等;
(25)向量组线性无关;
二、计算题(每小题10分,共30分)
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xaaaa
123n
axaaa
123n
aaxaa.
n1123n

aaaax
1234
解:将第2,3,,n1列都加到第一列,得:
n
xaaaa
i12n
i1
n
xaxaa
i2n
i1
Dn
n1xaaxa
i2n
i1
n
xaaax
i23
i1
提取第一列的公因子,得:
1aaa
12n
1xaa
n2n
D(xa)1axa.
n1i2n
i1
1aax
23
将第1列的(a)倍加到第2列,将第1列的(a)倍加到第3列,,将第1列的(a)倍
12n
加到最后一列,得
1000
1xa00
n1
D(xa)1aaxa0
n1i212
i1
1aaaaxa
2132n
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nn
(xa)(xa).
ii
i1i1
021

112.

111
解:作分块矩阵(AE),施行初等行变换.
021100112010
rr
1120101~2021100

111001111001
112010
rr
~31021100

001011
112010110012
rrr(2)r
~230201111~3020111

001011001011
1110012
r
22
~010121212

001011
100123252
r(1)r
1~2010121212

001011
123252

A1121212.

011
101

2,2,0.
123
352
第6页(共7页)
1010

解1:令kkk0,即k2k2k00
112233123
3520

kk0,
13
整理得到2k2k0,()
12
3k5k2k0.
123
101
线性方程组()的系数行列式2200,线性方程组()必有非零解,从而
352
,,线性相关.
123
解2:
101

2,2,0,
123
352
101

矩阵A(,,)220,
123
352
101101
初等行变换
A220~022

352000
R(A)23,故向量组,,线性相关.
123
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